目標函數

一個工程設計問題 ，常有許多可行的設計方案 ，最優化設計的任務是要找出其中最優的一個方案。評價最優方案的標準應是在設計中能最好地反映該項設計所要追求的某些特定目標。通常 ，這些目標可以表示成設計變量的數學函數 ，這種函數稱為目標函數。 ^[1] 

不同的設計點X代表不同的設計方案，不同的設計方案可以達到同樣的目標值。在數學上，具有相同目標函數值的點並非一個，而是很多，例如：二維設計中，目標函數是三維空間中的曲面，具有相同目標函數值的點在二維空間上描繪出一簇簇曲線，如右圖1所示，這種n維設計空間中具有相同目標函數值的設計點在n維空間中構成的曲線(面)稱為目標函數的等值線(面)。顯而易見，等值線(面)是一簇簇超曲線(面)，在同一條超曲線(面)上有很多設計點，代表了不同的設計方案，但它們卻對應有相同的目標值.不同的等值線有不同的目標值。 ^[2] 

梯度是目標函數f(X)對各個設計變量的偏導數所組成的向量，並以符號“▽f(X)"表示，即

從幾何意義上講，梯度向量在目標函數面的(n+1)維空間中垂直於目標函數面，在設計變量的n維空間中垂直於目標函數的等值面。以二維為例，如下圖2所示，當f(X) =ax₁+bx₂表示目標函數面是三維空間中的一個平面時，其等值線是一簇簇平行線C1，C2……，梯度▽f(X^(k))既垂直於目標函數面，又垂直於等值線。

在最優化設計中有時可以建立多個目標函數，這種問題稱為多目標函數間題。一般説來 ，目標函數越多，對設計的評價就越周全 ，但計算也越複雜。