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最小作用原理
鎖定
在物理學裏,最小作用原理,即最小作用量原理(英語:least action principle),或更精確地,平穩作用量原理(英語:stationary action principle),是一種變分原理,當應用於一個機械系統的作用量時,可以得到此機械系統的運動方程。這原理的研究引導出經典力學的拉格朗日表述和哈密頓表述的發展。卡爾·雅可比特稱最小作用量原理為分析力學之母[1]。
- 中文名
- 最小作用原理
- 外文名
- least action principle
- 類 型
- 描述客觀事物規律的一種方法
- 應 用
- 現代物理學
最小作用原理費馬的表述
費馬原理更正確的版本應是“平穩時間原理”。對於某些狀況,光線移動的路徑所需的時間可能不是最小值,而是最大值,或甚至是拐值。例如,對於平面鏡,任意兩點的反射路徑光程是最小值;對於半橢圓形鏡子,其兩個焦點的光線反射路徑不是唯一的,光程都一樣,是最大值,也是最小值;對於半圓形鏡子,其兩個端點Q、P的反射路徑光程是最大值;又如最右圖所示,對於由四分之一圓形鏡與平面鏡組合而成的鏡子,同樣這兩個點Q、P的反射路徑的光程是拐值。
假設,介質1、介質2的折射率分別為
、
,光線從介質1在點O移動進入介質2,則斯涅爾定律以方程表達為
如右圖1所示,從點Q到點P的移動時間
為
由圖中的邊角關係,可以得到移動速度與折射角的關係式:
費馬原理引發了極大的爭議。假若介質的密度越小,光線的移動速度越快,則費馬原理是正確的;但是,艾薩克·牛頓和勒內·笛卡兒都認為介質的密度越大,光線的移動速度就越快。1802年,托馬斯·楊做實驗發現,當光波從較低密度介質移動進入較高密度介質之後,光波的波長會變短,他因此推論光波的運動速度會降低。
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最小作用原理莫佩爾蒂的表述
最小作用量原理應用於作用量的最初始表述,時常歸功於皮埃爾·莫佩爾蒂。於1744年和1746年,他寫出一些關於這方面的論文。但是,史學專家指出,這優先聲明並不明確。萊昂哈德·歐拉在他的1744年論文裏就已談到這原理。還有一些考據顯示出,在1705年,戈特弗裏德·萊布尼茨就已經發現這原理了。
莫佩爾蒂又從宇宙論的觀點來論述,最小作用量好像是一種經濟原理。在經濟學裏,大概就是精省資源的意思。這論述的瑕疵是,並沒有任何理由,能夠解釋,為什麼作用量趨向最小值,而不是最大值。假若,我們解釋最小作用量為大自然的精省資源,那麼,我們又怎樣解釋最大作用量呢?
最小作用原理折射理論
於1744年,在巴黎科學院發表的一篇論文《幾種以前互不相容的自然定律的合一論》中,莫佩爾蒂提出,光折射的路徑,從一種介質到另一種介質,是作用量的最小值。按照這論點,如前圖,假設光線從折射率為
的介質1折射於折射率為
介質2,則作用量為
取作用量對於變數{\displaystyle x}的導數,設定為零,經過一些運算,可以得到
最小作用原理非彈性碰撞
1747年,莫佩爾蒂在伯林科學院(Academy of Berlin)發表了論文《運動與靜止定律》。在這篇論文裏,他將碰撞分為兩種,彈性碰撞與非彈性碰撞。彈性碰撞遵守動量守恆和能量守恆;非彈性碰撞只遵守動量守恆。莫佩爾蒂可以將最小作用量原理應用於彈性碰撞與非彈性碰撞,正確地計算出碰撞後的物體的速度。
思考一個一維非彈性碰撞,假設兩個質量分別為
和
的物體O1和物體O2,分別以初始速度
和
朝着同一方向移動,而且,
,物體O1緊追着物體O2。當兩物體發生非彈性碰撞後,結合成為物體O3,以終結速度
移動。從固定於物體O3的參考系觀察,物體O1和物體O2的速度分別為
和
。所以,作用量為
取作用量對於變數
的導數,設定為零,經過一些運算,可以得到
請注意,按照這種設定參考系的方法,前面折射問題的光折射作用量應該是
最小作用原理參閲
- 活力 (物理)(vis viva)
- 高斯最小約束原理(Gauss' principle of least constraint)
- 赫茲最小曲率原理(Hertz's principle of least curvature)
- 參考資料
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- 1. Jourdain-Philip.The principle of least action: Open Court Publishing Company,1913: 1, 54
- 2. P.L.M. de Maupertuis, Accord de différentes lois de la nature qui avaient jusqu'ici paru incompatibles.(1744)Mém. As. Sc. Paris p. 417.
- 3. Wilson, Alistair Macintosh.《 The Infinite in the Finite, Oxford University Press》:ISBN 9780198539506,1995: 38
- 4. Hecht, Eugene.United States of America: Addison Wesley:Optics 4th, 2002:106–111, 141