分析力學

分析力學是理論力學的一個分支，是對經典力學的高度數學化的表達。

經典力學最初的表達形式由牛頓給出，大量運用幾何方法和矢量作為研究工具，因此它又被稱為矢量力學（有時也叫“牛頓力學”）。拉格朗日、哈密頓、雅可比等人使用廣義座標和變分法，建立了一套同矢量力學等效的力學表述方法。同矢量力學相比，分析力學的表述方法具有更大的普遍性。很多在矢量力學中極為複雜的問題，運用分析力學可以較為簡便的解決。分析力學的方法可以推廣到量子力學系統和複雜動力學系統中，在量子力學和非線性動力學中都有重要應用。

不同的系統所遵循的運動微分方程不同；研究大量粒子的系統需用統計力學；量子效應不能忽略的過程需用量子力學研究。但分析力學知識在統計力學和量子力學中仍起着重要作用。

分析力學（analytical mechanics）一般力學的一個分支，以廣義座標為描述質點系的變數，以牛頓運動定律為基礎，運用數學分析的方法研究宏觀現象中的力學問題。1788年出版的 J.-L.拉格朗日的《分析力學》一書，為這門學科奠定了基礎。

從十八世紀開始，在力學發展史上又出現了與矢量力學並駕齊驅的另一力學體系，即分析力學。這個體系的特點是對能量與功的分析代替對力與力矩的分析。為了避免未知理想約束力的出現，分析力學的一種方法是在理想約束力與約束方程間建立起一種直接的關係，導出了比矢量力學一般方法程式化更為明顯的動力學方程－拉格朗日第一類方程。分析力學的另一種方法是從獨立座標出發，利用純數學分析方法，將用獨立座標描述的動力學方程用統一的原理與公式進行表達，克服了在矢量動力學中建立這種方程依賴技巧的缺點。這種統一的方程即拉格朗日第二類方程。上述工作均由拉格朗日(J.L.Lagrange)於1788年奠定的。以拉格朗日方程為基礎的分析力學，稱為拉格朗日力學。1834年哈密頓(Hamilton)將拉格朗日第二類方程變換成一種正則形式，將動力學基本原理歸納為變分形式的哈密頓原理，從而建立了哈密頓力學。 對於一個動力學系統，儘管建立該系統的拉格朗日第二類方程或哈密頓正則方程不依賴於技巧，但它的數學推導過程相當繁瑣，因此用來建立自由度比較多的系統動力學方程相當困難，並且容易出錯。利用拉格朗日第一類方程解決系統的動力學問題，與矢量動力學的一般方法一樣，儘管建立方程比較容易，但其求解規模很大。正是由於這個原因，在力學發展史上因拉格朗日第一類方程並不比矢量動力學一般方法優越，而被擱置一邊。

隨着近代計算技術的發展，解決具有程式化特徵的數學問題，規模再大也能迎刃而解。故解決動力學問題的拉格朗日第一類方程又引起廣泛的注意。可以這樣説如今在解決複雜動力學問題成功的計算機輔助分析軟件中，均採用拉格朗日第一類方程與加速度約束方程作為系統的動力學模型。

1788年拉格朗日出版的《分析力學》是世界上最早的一本分析力學的著作。分析力學是建立在虛功原理和達朗貝爾原理的基礎上。兩者結合，可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統的動力方程。

1760～1761年，拉格朗日用這兩個原理和理想約束結合，得到了動力學的普遍方程，幾乎所有的分析力學的動力學方程都是從這個方程直接或間接導出的。

1834年，哈密頓推得用廣義座標和廣義動量聯合表示的動力學方程，稱為正則方程。哈密頓體系在多維空間中，可用代表一個系統的點的路徑積分的變分原理研究完整系統的力學問題。

從1861年有人導出球在水平面上作無滑動的滾動方程開始，到1899年阿佩爾在《理性力學》中提出阿佩爾方程為止，基本上已完成了線性非完整約束的理論。

20世紀分析力學對非線性、不定常、變質量等力學系統作了進一步研究，對於運動的穩定性問題作了廣泛的研究。

分析力學又分為拉格朗日力學或哈密頓力學。前者以拉格朗日量刻劃力學系統，運動方程稱為拉格朗日方程，後者以哈密頓量刻劃力學系統，運動方程為哈密頓正則方程。

分析力學是適合於研究宏觀現象的力學體系，它的研究對象是質點系。質點系可視為宏觀物體組成的力學系統的理想模型，例如剛體、彈性體、流體以及它們的綜合體都可看作質點系，質點數可由一到無窮。又如太陽系可看作自由質點系，星體間的相互作用是萬有引力，研究太陽系中行星和衞星運動的天體力學，同分析力學密切相關，在方法上互相促進；工程上的力學問題大多數是約束的質點系，由於約束方程類型的不同，就形成了不同的力學系統。例如，完整系統、非完整系統、定常系統、非定常系統等。

分析力學研究的主要內容是：導出各種力學系統的動力方程，如完整系統的拉格朗日方程、正則方程，非完整系統的阿佩爾方程等；探求力學的普適原理，如漢密爾頓原理、最小作用量原理等；探討力學系統的特性；研究求解運動微分方程的方法，例如，研究正則變換以求解正則方程；研究相空間代表點的軌跡，以判別系統的穩定性等。

分析力學解題法和牛頓力學的經典解題法不同，牛頓法把物體系拆開成分離體，按反作用定律附以約束反力，然後列出運動方程。

分析力學中也可用變分原理(如漢密爾頓原理)導出運動微分方程。它的優點是可以推廣到新領域(如電動力學)和應用變分學中的近似法來解題。從20世紀60年代開始，為了設計複雜的航天器和機器人的需要，發展多剛體系統，並且跳出了使用動力學函數求導的傳統方法來建立動力學方程，所建立的方程能方便地應用電子計算機進行計算。

在量子力學未建立以前，物理學家曾用分析力學研究微觀現象的力學問題。從1923年起，量子力學開始建立並逐步完善，才在微觀現象的研究領域中取代了分析力學。但是，掌握分析力學的一些基本知識有助於學好量子力學。例如用分析力學知識求出漢密爾頓函數，再化成漢密爾頓算符，又自漢密爾頓-雅可比方程化成波動力學的基本方程——薛定諤方程等。

愛因斯坦提出相對論時，也曾把分析力學的一些方法應用於研究速度接近光速的相對論力學。

分析力學的基本原理主要是虛功原理和達朗伯原理，而前者是分析靜力學的基礎；前後兩者結合，便可得到動力學普遍方程，從而導出分析力學各種系統的動力方程。研究對象是質點系。質點系可視為一切宏觀物體組成的力學系統的理想模型。例如剛體、彈性體、流體等以及它們的綜合體都可看作質點系，質點數可由 1到無窮。又如太陽系可看作自由質點系。研究太陽系中行星和衞星運動的天體力學同分析力學密切相關，在方法上互相促進。分析力學對於具有約束的質點系的求解更為優越，因為有了約束方程，系統的自由度就可減少，運動微分方程組的階數隨之降低，更易於求解。

分析力學跟理論力學原則上講是一樣的，不過在一般教材裏，理論力學會先講一些普通力學的知識，最後一章才講分析力學，也就是説：理論力學是簡單易學的分析力學，較為初等的分析力學。

哈密頓原理（應該就是上文的漢密爾頓原理）是分析力學中的一條公理，無法再用更基本的理論推導出，其正確性只能由其解決的問題來證明。

下面介紹完整有勢系的哈密頓原理。首先定義拉格朗日函數L（lagrangian function）

再定義一個泛函，稱為作用量S（action）

在完整有勢系中，物體真實的運動一定會使作用量S取極值

分析力學以廣義座標為描述質點系的變量，以虛位移原理和達朗貝爾原理為基礎，運用數學分析方法研究宏觀現象中的力學問題。1788年出版的J.-L.拉格朗日的《分析力學》為這門學科奠定了基礎。 1834年和1843年W.R.哈密頓建立了哈密頓原理和正則方程，把分析力學推進一步。1894年H.R.赫茲提出將約束和系統分成完整的和非完整的兩大類，從此開始非完整系統分析力學的研究。分析力學的基本內容是闡述力學的普遍原理，由這些原理出發導出質點系的基本運動微分方程，並研究這些方程本身以及它們的積分方法。近20年來，又發展出用近代微分幾何的觀點來研究分析力學的原理和方法。分析力學是經典物理學的基礎之一，也是整個力學的基礎之一。它廣泛用於結構分析、機器動力學與振動、航天力學、多剛體系統和機器人動力學以及各種工程技術領域，也可推廣應用於連續介質力學和相對論力學。