力矩

力矩 (moment of force) 力對物體產生轉動作用的物理量。可以分為力對軸的矩和力對點的矩。即：M=r×F。其中r是從轉動軸到着力點的位置矢量，F是矢量力；力矩也是矢量。 ^[1-2] 

力矩是量度力對物體產生轉動效應的物理量。可分為力對點的矩和力對軸的矩。力對某一點的矩是量度力對物體作用繞該點轉動效應的物理量。力F對某點O的力矩定義為：力F的作用點A相對於O點的矢徑r與力F的矢積用M₀(F)表示，M₀(F)=r×F，力對點的矩是矢量，大小等於F的大小與O點到F的作用線的垂直距離d（稱為力臂）的乘積，或者等於以r、F為鄰邊的平行四邊形的面積rFsinα，α是r與F夾角。M₀(F)方向垂直於r與F所組成的平面，r、F、M。(F)三者滿足右手螺旋關係。對空間任何點都可以定義力對點的矩。由於力對點的矩依賴於力的作用點的位置矢徑r，所以同一個力對空間不同的點力矩是不同的。當力的作用線過空間某點，則該力對此點的矩為零。如果有幾個共點力（作用點為A）Fi(i=1，2，……，n)作用於物體，合力F=F₁+F₂+…+F_n，則合力對O點的力矩M₀(F)=r×(F₁+F₂+……+F)=r×F₁+r×F₂+…+r×F_n=M₀₁+M₀₂…+M_0n，即合力對某點O的力矩等於各分力對同一點力矩的矢量和。矢量M₀(F)稱為此力系對O點的主矩。 ^[2] 

力對某軸的矩是量度力對物體作用繞該軸轉動效應的物理量。定義為，力F對O點的力矩M在過O點的任一軸線OZ軸上的投影稱為力F對OZ軸的力矩，用Mz表示，Mz=Mcosβ，β為矢量M與OZ軸正方向的夾角，並規定物體轉動正方向與OZ軸正方向滿足右手螺旋關係，如圖2中箭頭所示。Mz是一個代數量，其正負表示物體轉動傾向，Mz>0表示力F使物體轉動傾向與轉動正方向一致，Mz<0則相反。必須指出，力F對OZ軸不同點的力矩是不同的，但這些力矩在OZ軸上的投影卻是相等的。所以可以説力F對OZ軸上任一點力矩在OZ軸上的投影等於力F對OZ軸的矩。而如果力F平行於OZ軸或F的作用線與OZ軸相交則F對OZ軸的力矩為零。力F對OZ軸的矩還可定義為：力F在垂直於OZ軸的平面內的投影F⊥對該平面和OZ軸的交點O之矩在OZ軸上的投影：[Moz(F)]_z=[M0(F_⊥)]_z=[r×F_⊥]_z。當Moz(F)方向與OZ軸正方向一致時為正，表示正對OZ軸箭頭觀察該力F有使物體逆時針轉動傾向，否則便相反。或者Moz(F)的方向與物體轉動傾向滿足右手螺旋關係。對空間任意軸線都可以定義力對軸的矩。力矩的單位是牛頓·米(N·m)。 ^[2] 

1.力F對點O的矩，不僅決定於力的大小，同時與矩心的位置有關。矩心的位置不同，力矩隨之不同。 ^[3] 

2.當力的大小為零或力臂為零時，則力矩為零。 ^[3] 

3.力沿其作用線移動時，因為力的大小、方向和力臂均沒有改變，所以，力矩不變。 ^[3] 

4.相互平衡的兩個力對同一點的矩的代數和等於零。 ^[3] 

在生活中用扳手擰緊螺母時，作用於扳手上的力F使扳手繞O點轉動，手上用的力F越大,螺帽擰得越緊。這説明，使扳手繞支點O的轉動效應不僅與力F的大小成正比，而且與支點O到作用線的垂直距離r（稱力臂）也成正比。引用“力矩”來度量力使物體繞支點（稱為矩心）轉動的效應。力F對矩心O點的矩簡稱力矩，用M(F)表示,其大小等於力F的大小與力臂r的乘積， 即M(F)=F·r，如圖3所示。 ^[4] 

若作用在剛體上的外力在垂直於轉軸的平面內，如圖4(a)所示，則外力F對該轉軸的力矩M為M=r×F。M的大小為M= Frsinθ=Fd；M的方向垂直於r與F構成的平面，可用右手螺旋定則確定，在定軸轉動中，力矩M的方向是沿着轉軸的。若作用在剛體上的外力不在垂直於轉軸的平面內，如圖4(b)所示。因定軸轉動中，平行於轉軸的外力對剛體的繞軸轉動不起作用，力F在平面內的分矢量才對剛體轉動產生影響。將力F分解為平行於轉軸的分力F和垂直於轉軸的分力F_⊥只有分力F能使剛體轉動，則力矩可寫成M=r×F_⊥在定軸轉動中，如果力F經過轉軸，則力矩M等於零，不能使剛體轉動；如果幾個外力同時作用在一個繞定軸轉動的剛體上，且這幾個外力都在與轉軸垂直的平面內，則它們的合外力矩等於這幾個外力矩的代數和。若剛體內各質點間存在相互作用力(內力),由於質點間的作用力總是成對出現,並遵守牛頓第三定律，故在討論剛體的定軸轉動時，這些內力對轉軸的合內力矩為零。 ^[5] 

剛體定軸轉動時的運動狀態的改變取決於施加於剛體上的合外力矩M。正如質點所受合力是產生加速度a的原因一樣，M是產生角加速度a的原因。在外力矩給定情況下，剛體的轉動慣量大，則所獲得的角加速度小，即角速度改變得慢，也就是保持原有轉動狀態的慣性大；反之，剛體的轉動慣量小，則所獲得的角加速度大，即角速度改變得快，也就是保持原有轉動狀態的慣性小。轉動定律是剛體定軸轉動的動力學量化公式，是質點系角動量定理在剛體定軸轉動時的特殊形式，也是剛體定軸轉動時的瞬時規律。如果力矩與力相對應，轉動慣量與質量相對應，角加速度與加速度相對應，顯然轉動定律與牛頓第二定律的形式類似，其地位相當於質點動力學中的牛頓第二定律。 ^[5]