阿佩爾方程

其形式為：

式中G為吉布斯函數，它是加速度動能式用準加速度

表示之式；為對應於準座標的廣義力；N是系統的自由度。由於完整系統是非完整系統的特例，因此，凡是適用於非完整系統的動力學方程，亦適用於完整系統。

假定一個有n個質點的非完整系統，它含個有限約束

和r個微分約束

可先利用有限約束，將3n個x用m=3n-個廣義座標q₁，q₂，...，q_m表示，r個微分約束用和(i=1,2,...,m)表示。由此可變換式（2）為：

式中m個

（j=1,2,...,m）只有N(=m-r)個是獨立的。為了更一般化，採用m個

的線性式組成N個準速度來描述這系統，即

由於非完整系統的微分約束（3）是不可積的，所以座標不一定存在，這就是是準座標名稱的由來。的時間導數稱為準加速度。由於式（1）左邊是對的偏導數，所以G中一切不含的項都可以捨去不寫，從而使計算G函數的工作量大為減少。

圓球、圓輪在粗糙面上無滑動地滾動，溜冰鞋在冰上的滑行等都是非完整系統力學問題的例子 ^[1-3]  。