自由度

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自由度(degree of freedom, df)指的是计算某一统计量时，取值不受限制的变量个数。通常df=n-k。其中n为样本数量，k为被限制的条件数或变量个数，或计算某一统计量时用到其它独立统计量的个数。自由度通常用于抽样分布中。

中文名: 自由度
外文名: degrees of freedom

领域: 统计学
应用: 抽样分布
公式: df=n-k

定义

播报

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统计学上，自由度是指当以样本的统计量来脚采榜估计总体的参数您雄连龙垫时，样本中独立或能自由变化的数据的个数，称为该统计量的自由度。一般来说，自由度等于独立变量减掉其衍生量数。举例来说，变异数的定义是样本减平均值(一个由样本决定的衍生量)，因此对N个随机样本而言，其自由度为N-1壳您项微浆。

数学上，自由度是一个随机向量的维度数，也就是一个向量能被完整描述所需的最少单位向量数。举例来说，从电脑屏幕到厨房的位移能凶乐才坑够用三维向量

来描述，因此这个位移向量的自由度是3。自由度也通常与榜白这些向量的坐标平方和，以及卡方分布中的参数有所关应灶剃联^[1]。

应用

播报

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1.若存在两个变量

、

，而

那么他的自由度为1。因为其实只有

才能真正的自由变化，

会被

选值的不同所限制。

2.估计总体的平均数（

）时，由于样本中的

个数都是相互独立的，任一个尚未抽出的数都不受已抽出任何数值的影响，所以自由度为

。

3.估计总体的方差（

）时所使用的统计量是样本的标准差

，而

必须用到样本平均数

来计算。在抽样完成后已确定，所以大小为

的样本中只要

个数确定了，第

个数就只有一个能使样本符合

的数值。也就是说，样本中只有

个数可以自由变化，只要确定了这

个数，方差也就确定了。这里，平均数

就相当于一个限制条件，由于加了这个限制条件，样本方差

的自由度为

。

4.统计模型的自由度等于可自由取值的自变量的个数。如在回归方程中，如果共有

个参数需要估计，则其中包括了

个自变量（与截距对应的自变量是常量）。因此该回归方程的自由度为

。

5.在一个包含

个个体的总体中，平均数为

。知道了

个个体时，剩下的一个个体不可以随意变化。为什么总体方差计算，是除以

而不是

呢？方差是实际值与期望值之差平方的期望值，所以已知道总体均值或其他统计参数时方差应除以

，除以

时是方差的一个无偏估计。

范例

播报

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例1

有一个有4个数据(

)的样本，其平均值

等于5，即受到

的条件限制，在自由确定4、2、5三个数据后，第四个数据只能是9，否则

。因而这里的自由度

。推而广之，任何统计量的自由度

（k为限制条件的个数）。

例2

如果用刀剖柚子，在北极点沿经线方向割3刀，得6个角。这6个角可视为3对。6个角的平均角度一定是60度。其中半边3个角中，只会有2个可以自由选择，一旦2个数值确定第3个角也会唯一地确定。在总和已知的情况下，切分角的个数比能够自由切分的个数大1。

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