-
稜錐
鎖定
- 中文名
- 稜錐
- 外文名
- pyramid
- 別 名
- 角錐
- 相關概念
- 底面,側面,側稜,頂點等
- 特 徵
- 有一個面是多邊形
- 應用學科
- 幾何學
稜錐歷史
在公元前1650年左右的萊因德數學紙草書中,稜錐已經作為數學對象被幾何學家研究。紙草書的56至59題是有關正方錐的底邊、高以及底面和側面形成的二面角之間關係的計算,如已知高和底邊長度,求二面角等。傳説由歐幾里德在公元前三世紀寫成的《幾何原本》中,第十二章第七個命題證明了:三角柱的體積等於同底同高的三角錐的三倍,但《幾何原本》中沒有給出直接的稜錐體積公式。公元一世紀左右成書的《九章算術》第五章中的第十二題,計算了正方錐、直方錐(陽馬)、直三角錐(鱉臑)的體積,並給出了通用公式。公元三世紀中葉,數學家劉徽在給《九章算術》作的注中,運用極限思想證明了稜錐的體積公式。
[2]
稜錐概念
稜錐的側面: 稜錐中除底面以外的各個面都叫做稜錐的側面。。
稜錐的側稜: 相鄰側面的公共邊叫做稜錐的側稜。
稜錐的頂點; 稜錐中各個側面的公共頂點叫做稜錐的頂點。
稜錐的高: 稜錐的頂點到底面的距離叫做稜錐的高。
稜錐特徵
稜錐是多面體中重要的一種,它有兩個本質特徵:
①有一個面是多邊形;
②其餘的各面是有一個公共頂點的三角形,二者缺一不可。
因此稜錐有一個面是多邊形,其餘各面都是三角形。但是也要注意“有一個面是多邊形,其餘各面都是三角形”的幾何體未必是稜錐。
稜錐分類
稜錐正稜錐
如果一個稜錐的底面是正多邊形,且頂點在底面的射影是底面的中心,這樣的稜錐叫做正稜錐。
正稜錐的各側稜都相等,各側面都是全等的等腰三角形。
稜錐性質
1.稜錐截面性質定理及推論
推論1:如果稜錐被平行於底面的平面所截,則稜錐的側稜和高被截面分成的線段比相等。
推論2:如果稜錐被平行於底面的平面所截,則截得的小稜錐與原稜錐的側面積之比也等於它們對應高的平方比,或它們的底面積之比。
2.一些特殊稜錐的性質
側面與底面的交角都相等的稜錐,它的二面角都是鋭二面角,所以頂點在底面內的射影在底多邊形的內部,並且它到各邊的距離相等即為底多邊形的內切圓的圓心(內心),且各側面上的斜高相等。如果側面與底面所成角為α,則有S底=S側cosα。
3.稜錐的側面積及全面積、體積公式、底面積公式
稜錐的側面積及全面積
稜錐的側面展開圖是由各個側面組成的,展開圖的面積,就是稜錐的側面積,則
S稜錐側=S1+S2+…+Sn(其中Si,i=1,2…n為第i個側面的面積)
S全=S稜錐側+S底
稜錐的底面積公式:S底=長×寬
斜稜錐的側面積=各側的面積之和
正稜錐的側面積:S正稜錐側=1/2chˊ(c為底面周長,hˊ為斜高)。
稜錐的中截面面積:S中截面=1/4S底面
4.正稜錐有下面一些性質
正稜錐的側稜與底面所成的角都相等;正稜錐的側面與底面所成的二面角都相等。
正稜錐的側面積:如果正稜錐的底面周長為c,斜高為h’,那麼它的側面積是 s=1/2ch
稜錐直觀畫法
畫一個底面邊長為5 cm,高為11.5 cm的正五稜錐的直觀圖,比例尺是 。
畫法:
(1)畫軸。畫x′軸、y′軸、z′軸,記座標原點為O′,使∠x′O′y′=45°(或135°),∠x′O′z′=90°。
(3)畫高線。在z′軸取O′S=11.5÷5=2.3(cm)。
(4)成圖。連結SA、SB、SC、SD、SE,並加以整理(去掉輔助線,將被遮擋的部分改為虛線),就得到所畫的正五稜錐的直觀圖。
稜錐正稜台
稜錐定義
稜錐的底面和平行於底面的一個截面間的部分,叫做稜台。由三稜錐,四稜錐,五稜錐……截得的稜台,分別叫做三稜台,四稜台,五稜台……
由正稜錐截得的稜台叫做正稜台。
稜錐性質
正稜台的性質:
稜錐相關名稱
兩個平行的面分別叫做上底面和下底面,其餘的面叫做側面,側面相交的線段叫做側稜,3條側稜相交的點叫做頂點。
正稜台各側面的高叫做稜台的斜高。
稜錐體積公式
稜台的體積公式:V=[S+S'+(SS')1/2]h/3
稜錐截面
任意平面截稜錐所得截面均為多邊型形,不為圓面。