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正五邊形
鎖定
正五邊形定義
正五邊形的中心角為72度,其具有五個對稱軸,其旋轉對稱性有5個階(72°、144°、216° 和 288°)。
高
邊長
邊長
寬
邊長
邊長
對角線長
其中R為外接圓半徑。
邊長為t的正凸五邊形面積可以將之分割成5個等腰三角形計算:
正五邊形不能鑲嵌平面,因為其內角是108°,不能整除360°。截至2015年,已知有15種凸五邊形鑲嵌平面,還未知道是否尚有其他的凸五邊形。
正五邊形面積公式推導
其中,t是正五邊形的邊長。
正五邊形內切圓半徑
其中,r為內切圓半徑與邊心距相同、t為正五邊形邊長。
正五邊形構造
里士滿提出了一個構造正五邊形的方法,並且在克倫威爾的《多面體》中被近一步討論。。
先利用單位圓決定五邊形的半徑。C為單位圓圓心,M是圓C半徑的中點。D是位於垂直於MC的另外一條半徑的圓周上。作角CMD的角平分線,令Q為角CMD的角平分線與CD的交點。作過Q平行於MC的直線,令之與圓C相交的交點為P,則DP為正五邊形的邊長。
這條邊的長度可以利用圓下方的兩個直角三角形DCM和QCM。利用勾股定理,較大的三角形斜邊為
。小三角形其中一股h可由半角公式求得:
五邊形邊長s為:
正五邊形物理方法
正五邊形可以藉由嘗試在一張長條紙張上打一個反手結,並將多出來的部分向後折來構造。這種折法被用在摺紙星星上。
正五邊形畫法
正五邊形常規畫法
①作線段AB等於定長l,並分別以A,B為圓心,已知長l為半徑畫弧與AB的中垂線交於K。
②取AB的2/3長度,沿着中垂線向上取C點,使CK=2/3AB。
③以點C為圓心,已知邊長AB為半徑畫弧,分別與前兩弧相交於M,N。
(2)民間口訣畫正五邊形
口訣介紹:“九五頂五九,八五兩邊分”。
畫法:
①畫線段AB=20mm。
③在l上連續截取GH,HD,使 GH=9.5/5*10mm=19mm,HD=5.9/5*10mm=11.8mm。
④過H作EC⊥HG,在EC上截取HE=HC=8/5*10mm=16mm。
⑤連結DE,EA,AB,BC,CD。
五邊形ABCDE就是邊長為20mm的近似正五邊形。
正五邊形尺規作圖畫法
1. 在平面內作一圓,圓心為O;
2. 在圓O上取一點A,連接AO並延長交圓O於另一點B;【假令|AB|=4】
3. 過點O作CD⊥AB,交圓O於C、D兩點;【此時|CD|=4】
4. 作OB垂直平分線MN,交OB於E點,交圓O於M,N【此時|OE|=|BE|=1】
5. 以點E為圓心,EC長為半徑作弧,交BO延長線於點F;
【此時|EC|=|EF|=√5】
6. 以點B為圓心,BF長為半徑作弧,交圓O分別於G、H兩點;【此時|BF|=|EF|+|BE|=1+√5】
【此時可知cos∠ABG=(|EF|+|BE|)/|AB|=(1+√5)/4=cos36°】
【而∠AOG=2∠ABG=72°=360°/5(直徑所對的圓周角)】
【此時便得到了圓周上的五等分點的其中兩個】
7. 以點G為圓心,GA長為半徑作弧,交圓O於P點;
8. 以點H為圓心,HA長為半徑作弧,交圓O於Q點;
9. 連接AG、GP、PQ、QH、HA,則五邊形AGPQH為正五邊形。
正五邊形圓內接五邊形
正五邊形定義與性質
正五邊形內角和求法
因為五邊形的內角和可看為3個三角形的內角和,所以,3×180°=540°
正五邊形內角求法
據上一條“正五邊形的內角和求法”可知道,正五邊形的內角和為540°。
往下拓展:因為正五邊形的五個角均相等,且五邊形的內角和為540°;
所以正五邊形的每個內角均為540°÷5=108°