展開圖

空間形體的表面在平面上攤平後得到的圖形，是畫法幾何研究的一項內容。對於用板料製作的零件，除需要用多面正投影圖表示零件的形狀外，還要用平面展開圖表示零件製作前板料的形狀。依據零件的多面正投影圖繪製展開圖，實質上就是求取表面的真實形狀。構成形體的表面可分為兩類：平面、柱面和錐面等可以攤平的表面是可展曲面；球面和圓環面等不能攤平的表面是不可展曲面。對於可展曲面，柱面用平行線法繪製其展開圖，錐面用放射線法繪製其展開圖。對於不可展曲面，如直紋曲面，常用三角線法展開；如不是直紋曲面，則常將它們分割成若干部分，把每個部分看作為柱面或錐面將其近似地展開。用平行線法繪製斜截圓柱的展開圖：先將圓柱表面分為若干等分，確定出各等分處素線的實長。然後將圓柱底面圓周展為直線,在直線的各相應等分點處畫出各素線的實長,用曲線連接各素線的上端點即得到斜截圓柱的展開圖。放射線法的繪製原理與平行線法類似。錐面展開後各素線相交於一點,因而稱為放射線法。三角線法是將形體的表面近似地看作為由許多邊與邊相鄰接的三角形構成，求出各個三角形的真實形狀,然後將它們拼接在一起。半球的展開圖,將半球分為若干等分,把每一等分近似地看作為圓柱面而將其展開。展開圖也可以用計算法繪製：通過數學計算得到展開圖上輪廓線的方程式或一系列點的座標，根據它們畫出展開圖或用數控自動切割機直接進行切割板料。

畫製件的展開圖就是要求畫出它的各個表面的實形，並將它們順序地連畫在一起。金屬板材製件千形萬狀，但它們的表面不是平面就是曲面。平面的實形是比較容易求出的，而曲面則有可展曲面和不可展曲面之分，凡是在理論上能夠完全準確地展開成平面圖形的曲面稱為可展曲面，相鄰兩素線互相平行或者相交的直線面，如柱面，錐面等屬於可展曲面；以曲線為母線的曲面和相鄰兩素線互相交叉的直線面稱為不可展曲面，如球面、環面、正螺旋麪等。對於不可展曲面只能近似展開，即用平面或可展曲面來近似地代替，畫其展開圖。

畫製件表面展開圖的方法，通常有計算法和圖解法兩種。

計算法就是用求立體表面積的公式算出展開圖的尺寸，按尺寸畫圖。如圖1示例，圓筒管的表面展開圖是一矩形，其一邊長為πD（D為圓筒管的直徑），另一邊長為圓筒管的高度H。又如圖2為正圓錐面，其底面圓的直徑為D，直素線的長度為L，它的表面展開圖是扇形，該扇形的半徑為L，扇形角α=D/L·180°。計算法雖然比較準確，但是對於形狀不太規則的曲面，就不便於精確計算或者計算起來顯得太繁雜，因此應用這種方法受到一定的限制。

圖解法就是用畫法幾何的作圖原理和方法，求畫製件各表面的實形，並順序地連成片，得到製件的展開圖。這種方法在生產上廣為採用。仍以圓筒管和正圓錐面為例，見圖3和圖4，用圖解法畫其展開圖就是先將它們的表面分成若干部分，每一部分又用平面來代替，再順序而連續地將它們攤平，即得表面展開圖。顯然，這種展開圖是近似的，但只要等分數量恰當，則其誤差不會太大，為實際生產所允許。

在許多情況下，可綜合採用計算法和圖解法來畫製件的表面展開圖，這樣既準確又簡便。除上述兩種方法外，畫展開圖還有其他一些方法。 ^[1] 

由製件的視圖畫其展開圖時，要求製件各個表面的實形，就必須先求出一系列直線段的實長。如圖5示例，AB為一空間直線段，其正面投影a'b'即為AB的主視圖；其水平投影ab即為AB的俯視圖，其側面投影a‘’b‘’即為AB的左視圖。由表可見，當直線段在投影體系中處於投影面的平行線或垂直線位置時，則在視圖上可以直接量出它的實長。

當直線段AB對各個投影面既不平行又不垂直時，則其三面投影都不反映實長，見圖6所示。怎樣求對投影面處於一般位置的直線段的實長呢?這是畫展開圖時首先需要解決的問題，下面介紹兩種方法：

⒈直角三角形法

圖7上圖為一般位置直線AB向正面投影面和水平投影面分別進行投影的立體圖。因為Aa'⊥正面，所以Aa'⊥a'b'，同理Bb'⊥a'b'，在直角梯形平面ABb'a'內作A₁⊥Ba'b'，即A₁B⊥Aa'，則構成一個直角三角形ABA₁。在這個直角三角形中，一直角邊A₁B=a'b'，另一直角邊AA₁=Aa'-Bb'， Aa'為A點的y座標值，用y_a表示，Bb‘為B點的y座標值，用y_b表示，則AA₁=y_a-y_b，而斜邊即為實長AB。圖7下圖表示在投影圖上的作圖方法：以a’b‘為一直角邊，以y_a-y_b的長度為另一直角邊，完成一直角三角形，則其斜邊Ab’即為AB的實長。這種方法稱為直角三角形法。同理，也可以ab為一直角邊，以z_b-z_a為另一直角邊，所畫直角三角形的斜邊aB也是AB的實長。

直角三角形的作圖位置可按需要安排在適當部位，但是三條邊的相對關係是不變的，即一條直角邊為某一投影的長度，另一直角邊為線段兩端點在垂直於該投影面的軸向座標值之差，斜邊則為空間直線段的實長。如圖7下圖在不同的位置畫出四個直角三角形，兩兩相同，它們的斜邊都是AB的實長。

⒉旋轉法

仍以一般位置直線段AB為例，見圖8左圖立體圖。為求AB的實長，可將直線段AB繞過B點的鉛垂軸線O旋轉，使AB旋轉到與正面投影面相平行的位置A₁B時再進行投影，則正面投影a₁‘b'便反映AB的實長。因為B點在旋轉前後位置不變，所以b'、b都未變動，A點繞鉛垂軸旋轉的軌跡為一水平圓周，其水平投影反映實形，其正面投影為一水平線段。在投影圖上的作圖過程見圖8右圖：先以b為圓心，ba為半徑畫弧，與過b點且平行於X軸的直線交出a₁點；再由a₁求得a₁’，則b‘a₁’即為AB的實長。

同理，也可令AB繞正垂軸線O旋轉到水平線AB₁的位置，如圖9左圖所示，則其水平投影ab₁反映AB的實長。圖9右圖表示在投影圖上的作圖過程：先以a’點（即正垂軸的正面投影o'為圓心，以a‘b’為半徑畫弧，求得b₁‘點，再由b₁’求得b₁，則ab₁即為直線段AB的實長。

採用旋轉法求一般位置直線段的實長時，旋轉軸線以及旋轉方向的選取應使作圖簡便，圖形清晰。 ^[1] 

組合形式的製件，其表面上會出現兩個或兩個以上的形體表面的交線，稱為結合線，又叫相貫線。

由於構成相貫體的基本形體的幾何形狀及其相互位置的不同，結合線的形狀也就多種多樣，因為結合線總是兩形體表面的共有線，又是相交兩形體表面的分界線，畫這類製件的展開圖時，必須先正確地求出結合線的投影，才能準確地畫出展開圖，使鈑金製造順利地進行，並保證產品的質量。

因為結合線是兩形體表面共有點的集合，所以只要求出兩形體表面上必要的共有點（一般先求特殊位置的點，再找若干中間點），再將這些共有點依次而光滑地連接起來，便得到結合線。那麼，兩形體表面的共有點又如何求呢?下面介紹常用的幾種方法：

⒈輔助線法

當相交兩形體表面中某形體的某一投影具有積聚性時，則結合線在該面的投影為已知，由已知的投影可求出相應的輔助線上點的投影，再依次而光滑地連接之，便求到結合線的其他投影。這種在形體表面上取線找點的方法，簡稱為輔助線法。

⒉輔助平面法

用一輔助平面同時截兩相貫形體，分別產生兩交線，兩交線的交點即為相貫兩形體表面的共有點，也就是結合線上的點。用一系列的輔助平面，可求出結合線上一系列的點的投影，再依次而光滑地連接之，便得到結合線的投影，這種方法稱為輔助平面法。

⒊輔助球面法

當迴轉體軸線通過球心時，其表面交線為圓，如圖10示例，該圓在軸線所平行的投影面上的投影成一直線，直線的長度即為交線圓的直徑。因此，當兩軸線相交且同時平行於某一投影面的迴轉體相貫時，為求其表面的結合線，可用輔助球面與兩回轉體同時相交，其交線圓在投影圖上也是簡單易畫的，兩交線圓的交點即為結合線上的點，用一系列的輔助球面亦可求到一系列的兩面共有點，再依次而光滑地連點成線，這種方法稱為輔助球面法。 ^[1] 

正方體共有十一種展開圖，如圖11