焦點弦

連接圓錐曲線上任意兩點得到的線段叫做圓錐曲線的弦。若這條弦經過焦點，則稱為焦點弦。

焦點弦也可以看成由同一直線上的兩條焦半徑構成。

一般的圓錐曲線弦長可以用弦長公式來求，但因為焦點弦經過焦點這條特殊的性質，使得焦點弦長有着其他更加方便的求法（根據已知信息選擇相應公式）。

標準方程：

左焦點弦：

或

右焦點弦：

或

其中x₁、x₂是焦點弦端點的橫座標，

是離心率，

叫做焦準距（即焦點到對應準線的距離），θ是弦所在直線的傾斜角。兩組公式均可由焦半徑公式得到。

推導過程：

左焦點弦時，設∠AFx=θ，那麼：

。

右焦點弦時，把分母的-cosθ換成cosθ即可。

有些地方把第二組公式寫成

，是便於直接從橢圓方程得到焦點弦長，而跳過了求焦準距的步驟。但事實上這樣寫的好處在於可以把三種圓錐曲線的焦點弦公式統一起來，只需要記住一個公式即可計算三種圓錐曲線的焦點弦。

標準方程：

同支左焦點弦：

或

同支右焦點弦：

或

兩支左焦點弦：

或

兩支右焦點弦：

或

注意：雙曲線有兩條分支，焦點弦的端點在同一支上時，焦點在焦點弦上，此時焦點弦長為兩條焦半徑之和。焦點弦的端點在兩支上時，焦點在焦點弦的延長線上，此時焦點弦長為兩條焦半徑之差。公式中的字母與橢圓的情況相同。

類比橢圓的第一個公式，橢圓左焦點弦和雙曲線兩支左焦點弦表達式相同，和雙曲線同支左焦點弦表達式互為相反數，另一邊同理。

運用第二個公式計算焦點弦時一定要注意是同支焦點弦還是兩支焦點弦。如果是同支則分母可以直接去絕對值符號。如果是兩支則分母去絕對值之後要變號。判斷方法是看焦點弦的傾斜角，如果傾斜角在兩漸近線傾斜角之間的，則為同支焦點弦，否則為兩支焦點弦。不會出現恰好等於漸近線傾斜角的情況，因為如果直線和漸近線平行，經過焦點的直線和雙曲線有且只有一個交點，不可能形成焦點弦。

標準方程：

焦點弦：

或

第二個公式可以化簡。因拋物線的焦準距恰好為標準方程中的p，並且e=1，所以可以化簡成

焦點弦有很多良好的性質，高考中或多或少會出現使用，甚至直接要求證明這些性質的題目。在此列舉了幾個常見的性質以及它們的證明過程。證明中皆以焦點在x軸上的圓錐曲線為例。

一、圓錐曲線（橢圓、雙曲線、拋物線）的焦點弦中，通徑最短。、

所謂通徑是指垂直於軸的焦點弦。根據圓錐曲線焦點弦的統一公式，當

時分母取得最大值1，因此焦點弦取得最小值

。對於橢圓和雙曲線，

；對於拋物線，

。

用解析幾何計算量較大，在此用平面幾何的知識來證明。

設焦點弦為AB，分別過A和B向相應的準線作垂線AM和BN，得到直角梯形ABNM。取AB中點C，過C作CD⊥準線，垂足為D。根據平行線等分線段定理，D為MN中點，因此CD是直角梯形ABNM的中位線。

根據梯形中位線定理，

CD是圓心C到準線的距離，而AB是圓的直徑，因此有

，r是半徑，d是圓心到準線距離。

對於橢圓，

，即

，所以圓和直線相離。

對於雙曲線，

，即

，所以圓和直線相交。

對於拋物線，

，即

，所以圓和直線相切。

這條性質對於處理拋物線的焦點弦時比較有用，設圓和準線切於P，連接PA、PB，結合下面的性質七可以得出PA和PB都是拋物線的切線。

所謂一條線段是另外兩條線段的調和中項，指的是這條線段的倒數的二倍，等於另兩條線段倒數之和。

設焦點弦為AB，焦點為F（F在AB上），則

，其中ep是半通徑（參考性質一）。

可以用平面幾何證明。

當AB與軸不垂直且不重合時，過A、B分別作軸的垂線，垂足為C、D，準線交軸於E。那麼△ACF∽△BDF。

不妨設A比B更靠近準線，則有

根據圓錐曲線的第二定義，CE=A到準線距離=AF/e，DE=B到準線距離=BF/e。而EF=p，代入上式，得：

所以有

移項，整理得

當AB⊥軸時，AF和BF都是半通徑，即AF=BF=ep，結論成立。

當AB與軸重合時，AB與拋物線或雙曲線的一支僅有一個交點，不構成焦點弦，而和橢圓的兩個交點恰好是長軸的頂點。此時不妨設AF=a-c，BF=a+c，經過計算可知結論依然成立。

四、組成焦點弦的兩條焦半徑之積與該焦點弦長成比例，比值為

。

從性質三的證明中對最後的等式取倒數即可。

五、設AB是焦點弦，焦點為F，E是相應準線與對稱軸交點。連接AE、BE，則EF平分∠AEB。特別地，如果AB是雙曲線的兩支焦點弦，則EF平分∠AEB的外角。

設直線AB與相應準線交於P，根據射影幾何的極點極線理論，F和P分別為線段AB的內外調和分割點，所以有EF內平分∠AEB。特別地，如果AB是雙曲線的兩支焦點弦，則F是外調和分割點，所以EF外平分∠AEB。

如果不用射影幾何來證明，也可以採用相似證法。

過A、B分別作軸的垂線，垂足為C、D，則根據兩直線平行，內錯角相等可知只需要證明∠EAC=∠EBD即可。

若設AB與軸的夾角為θ（0<θ≤90°），在Rt△EAC中和Rt△EBD中，

因此∠EAC=∠EBD，得證。

同理可證當AB是雙曲線的兩支焦點弦時，此時準線平分∠AEB。而EF⊥準線，所以EF外平分∠AEB。

推論：若設AE與圓錐曲線交於另一點C，則根據對稱性，B和C關於x軸對稱，且由平面幾何的知識可知△CEF≌△BEF。

以拋物線為例，要證明∠MFN是直角，只要證

。

設

，準線為

。

拋物線的頂點恰好為原點O，所以

同理，

所以

而

，代入上式得

設

，聯立拋物線方程，整理得

由韋達定理，

，代入上式並化簡即得到

七、焦點弦兩端點處的兩條切線相交在準線上，並且該交點與焦點的連線垂直於這條焦點弦。反過來，過準線上任意一點作圓錐曲線的兩條切線，連接這兩個切線的直線將通過焦點。

事實上這個性質涉及到極點和極線的理論，可以參考下文補充。

以雙曲線左焦點弦為例（同支或兩支均可），左準線方程為

。設兩條切線交於

，那麼焦點弦AB的方程為

。因為左焦點

在AB上，代入方程可解得

，即M在左準線上。

當AB斜率不存在時，

，缺少含y的項，所以方程

中的

，即

。此時M在x軸上，有AB⊥FM。

當AB斜率存在時，由方程

可得

又

所以

，即AB⊥FM

反過來，過準線上一點

作雙曲線的兩條切線MA、MB，則AB方程為

把它整理成

的形式即可知F在AB上。

設AB是焦點弦，焦點為F，準線和軸交於E。過A作AM⊥準線於M，連接BM，則BM平分EF。

要證明該命題，只要證BM與x軸交點為EF中點即可。

設BM交x軸於P，根據相似三角形的性質，

。

利用性質四對上式進行化簡：

即PF的長度是焦準距EF的一半，所以命題成立。

特別地，對於拋物線來説，E和F的中點恰好是座標原點O，所以可以得到直線BM過點O的結論。

該性質具有對稱性，即過B作BN⊥準線於N，連接AN，則AN平分EF。也就是説直角梯形AMNB的兩條對角線的交點恰好是EF中點。

九、設焦點弦AB（雙曲線為同支）不與軸平行，它的垂直平分線與x軸交於G，F是相應的焦點，則AB:FG是定值2/e。

根據對稱性，只需要考慮AF≥BF的情形，此時AB中點M必定在線段AF上。

利用平面幾何。過A、B分別作x軸的垂線於D、E，則得到三組相似三角形△AFD∽△GFM∽△BFE。

所以

兩式相乘，得

~~~①

令AB=2d=FA+FB，AB的傾斜角為θ，那麼AM=BM=d

FD=FA|cosθ|，FE=FB|cosθ|

當AB是橢圓、拋物線和雙曲線的同支焦點弦時，FM=FA-AM=BM-FB，即FM=FA-d=d-FB

代入①得到

化簡得

~~~②

根據性質四，

再根據焦點弦公式，

，得

代入②得

所以

設

為常態二次曲線（不包括退化的情況如兩條相交直線、一條直線、一個點甚至沒有圖像的情況），

為平面內任意一點（但如果S有中心，則P不包括該中心），把直線

叫做點P關於S的極線，其中，點P則叫做直線l關於S的極點。

在這樣的定義下，有心二次曲線的中心沒有極線，並且

定理1 （配極理論的原則）.：若點P的極線通過點Q，則點Q的極線也通過點P；

定理2：通過一點P而且與一個常態二次曲線相切的直線，它的切點在點P的極線上；

定理3：橢圓、雙曲線、拋物線焦點的極線是相應的準線；

定理4：如果橢圓、雙曲線、拋物線的兩條切線的交點在準線上，則過切點的直線必過焦點；

由於在射影平面內，圓的焦點是圓心，準線是無窮遠直線，故定理4又可推廣為：

定理5：如果常態二次曲線的兩條切線的交點在準線上，則過切點的直線必過焦點；

（特別：如果圓的兩條切線平行，則切點弦是圓的直徑）。

不言而喻，更一般還有

定理6：(1)點E是常態二次曲線內部一點，但不是有心二次曲線的中心，如果該曲線的兩條切線的交點在點E的極線上，則過切點的直線必過點E；

(2)如果有心二次曲線的兩條切線平行，則過切點的直線必過中心點。