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極線
（數學中的極線）
鎖定
- 中文名
- 極線
- 外文名
- polar
- 應用領域
- 數理科學
- 定 義
- 在定義極線之前，先介紹兩點關於二次曲線調和共軛的概念
極線定義
在定義極線之前，先介紹兩點關於二次曲線調和共軛的概念。
極線調和共軛
過不在二次曲線C上的一點P作直線l交二次曲線於M、N兩點，則由交比的性質可知，在直線l上有且只有一點Q，使(PQ，MN)=-1。我們把Q叫做P關於二次曲線C的調和共軛點，或稱P、Q關於二次曲線C調和共軛。
顯然，點P的調和共軛點有無窮多個，且若Q是P關於二次曲線C的調和共軛點，則P也是Q關於C的調和共軛點，即P、Q互為調和共軛點。
極線幾何定義
點P關於二次曲線C的調和共軛點Q的軌跡是一條直線，這條直線叫做點P關於二次曲線C的極線，而P叫做這條直線的極點。
注意：這個定義中要求P不在曲線C上，若不然，則P與M或N重合。不妨設P與M重合，那麼
。而當P在曲線C上時，從下面極線方程的推導結果來看，可知方程形式與過P點的切線方程完全相同，所以規定當P在曲線C上時，它的極線就是過它的切線。
極線極線方程
為了證明Q的軌跡是一條直線，在此使用齊次座標來證明。
在齊次座標下，任意一條二次曲線C的方程總可以寫成以下形式：
設定點P(p1,p2,p3)，動點Q(q1,q2,q3)，類比直線系方程，直線PQ上任意一點（除P外）的座標可寫成(q1+kp1,q2+kp2,q3+kp3)。聯立C的方程，整理得：
設方程的解為k1、k2，對應點M(q1+k1p1,q2+k1p2,q3+k1p3)和N(q1+k2p1,q2+k2p2,q3+k2p3)，則
。
因P和Q關於C共軛，上式比值為-1，即有k1+k2=0
根據韋達定理可知，聯立後的方程的一次項係數為0，所以有
整理得
即點Q的座標(q1,q2,q3)滿足上述方程，因此Q的軌跡是一條直線。
習慣上用(x1,x2,x3)表示動點的座標，所以點P(p1,p2,p3)關於二次曲線C的極線方程MN為
若只考慮有窮遠點，則x3≠0。令
，曲線C的方程化為
其中
，這是我們熟知的二次曲線的一般方程。
再令
，則P的直角座標為(x0,y0)。
將這些數量關係代入求得的齊次座標下的極線方程中，得直角座標下點P(x0,y0)關於曲線C：
的極線方程為
極線代數定義
對於二次曲線C：
，我們也可以直接定義直線MN：
叫做點P(p1,p2,p3)關於二次曲線C的極線，P叫做MN的極點。
可以證明代數定義和幾何定義是等價的。
極線極線的幾何性質
1.射影平面內的任意一點對於固定的二次曲線C，有且只有一條極線。反之，射影平面內的任意一條直線對於固定的二次曲線C，有且只有一個極點。這可以由定義直接推導出來。
2.（配極原則）對於同一條二次曲線C，如果點P的極線經過點Q，那麼點Q的極線經過點P。反之，如果直線p的極點在直線q上，那麼直線q的極點在直線p上。
點P(p1,p2,p3)關於二次曲線C：
的極線方程為
由於點Q(q1,q2,q3)在極線上，得到
將該方程稍作整理，可以得到
即P的座標滿足Q的極線方程，定理的前半部分得證。
再設p的極點為P，q的極點為Q。根據已知條件，P在q上，即點Q的極線經過點P，那麼點P的極線也經過點Q，即Q在p上，定理後半部分得證。
3.兩點連線的極點是這兩點的極線的交點；兩直線交點的極線是這兩直線的極點的連線。
設有兩點A、B，各自的極線交於C，則根據配極原則，C在A的極線上⇒A在C的極線上。同理，B在C的極線上。由兩點確定一條直線可知AB是C的極線，即C是AB的極點。類似可證後者。
從這個性質中可以知道，對於二次曲線上兩個點，過這兩點的切線的交點的極線即這兩點的連線。
[1]
所以有時候也利用這個性質來定義曲線外一點P的極線。
4.設四邊形ABCD內接於二次曲線，則對角線交點P的極線是兩組對邊交點的連線。
設兩組對邊AB、CD和AD、BC的交點分別為M、N，連接PM交BC、AD於E、F。由完全四點形的調和性可知(AD,NF)=(BC,NE)=-1，因此E和F都是N關於曲線的調和共軛點，所以直線EF，即直線PM是N關於曲線的極線。
同理，PN是M關於曲線的極線。
極線二次曲線的中心和直徑
將二次曲線C放在仿射平面（即一般的歐氏平面加上一條無窮遠直線）中，則無窮遠直線關於C的極點O叫做C的中心，而無窮遠點關於C的極線叫做C的直徑。
由於仿射平面上只有一條無窮遠直線，所以C的中心也只有一個。但無窮遠點有無數個，所以C的直徑也有無數條。根據配極原則，無窮遠點通過中心O的極線（即無窮遠直線），所以O也通過無窮遠點的極線，即直徑必定經過中心O。這也可以作為直徑的定義。
設曲線C的一條直徑AB與無窮遠直線相交於P，則P關於曲線C的極線A'B'叫做AB的共軛直徑。
