完全四點形

定義：平面上四個點(無三點共線)以及聯結其中任意兩點的六條直線所組成的圖形稱為完全四點形。

性質 ：

（1）性質1：在完全四點形的對邊三點形的每一條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是對邊點，另外兩個點是這條邊與通過第三個對邊點的一對對邊的交點。

（2）性質2 ：在完全四點形的的每一條邊上有一組調和共軛點，其中兩個點是頂點，另外一對點偶裏，一個點是對邊點，另外一個點是這個邊與對邊三點形的邊的交點 ^[1]  。

定義：平面內無三點共線的四點及其兩兩連線所構成的圖形，叫做完全四點形。三對對邊的交點構成的三角形稱為三點形。

定理：完全四點形的任意三點構成的三角形與其三點形應邊的交點共線。

證明：如圖1，由於S是△QRP與△ABC的對應頂點的連線的交點，設其三雙對應邊的交點分別為：BC與RQ的交點為A1，AC與RP的交點為B1，AB與PQ的交點為C1，則根據笛薩格定理，得到A1、B1、C1共線。

因為PQRS是完全四點形，因此可以得到以下結論：

（1）若以R為兩個三角形△QPS與△ABC的對應頂點的連線的交點，設其三雙對應邊QP與AB的交點為C1，QS與AC的交點為M，PS與BC的交點為N，則C1、M、N三點共線。

（2）若以P為兩個三角形△ABC與△SRQ的對應頂點的連線的交點，設其三雙對應邊AB與SR的交點為D，AC與SQ的交點為M，BC與RQ的交點為A，則D、M、A三點共線。

（3）若以Q為兩個三角形△ABC與△RSP的對應頂點的連線的交點，設其三雙對應邊AB與RS的交點為D，AC與PR的交點為B，BC與SP的交點為N，則D、N、B三點共線 ^[2]  。

完全四點形的調和性是高等幾何的一項重要內容， 在幾何學中佔有重要地位。 它對初等幾何的研究亦具有重要的指導意義。比如説，它在初等幾何的平分角度問題、共點共線問題、中點問題、線段比值問題及平行性等問題的研究中都有廣泛的應用。

調和性內容如下：

（1）完全四點形（圖2中的四點形ABCD）的兩個對邊點X、Y的連線交第三對對邊於S、T，則(XY，ST) =-1。

（2）完全四線形 （圖3中的四線形abcd）的兩條對頂線x、 y的交點O與第三對對頂點相連得直線 s、t，則(xy,st) = –1。

（3）在完全四點形的對邊三點形的每條邊上，有一個調和點組，其中一對為對邊點，另一對為該邊與第三組對邊的交點。

（4）在完全四點形的每條邊上有一個調和點組，其中一對為頂點，另一對中一個為對邊點，一個為該邊與對邊三點形的邊的交點。

例1：如圖4， AD 垂直於 BC，M 是 AD 上的任意一點，BM 交 AC 於 E，CM交 AB 於 F，證明 ：AD 、BC 平分 DE 與 DF 所成的角。

證明：連直線 EF 分別交直線 AD、BC 於 X，Y。考察完全四點形 AFME ，由完全四點形的調和性，得 (EF, XY) = – 1, 即 D(EF, XY) = – 1 ，又因為 DX⊥DY ，所以 AD 、BC 平分∠ EDF。

例 2：求證梯形兩腰延長線的交點與對角線的交點連線平分上下底。

證明：如圖5，四邊形 ABCD 為梯形，AD//BC，E、F 分別為兩腰和對角線的交點。EF 交 AD，BC 於 P、Q。考察完全四點形 EAFD。設 AD ×BC=G∞。由完全四點形的調和性知 (BC, QG∞) = –1，因為 AD//BC，故 G∞是無窮遠點，從而 Q為 BC 的中點。

例 3：求證三角形的三條外角平分線和對邊相交所得三點共線。

證明：如圖6所示， ABC 的三條外角平分線與對邊交與G，H，I。設 ABC 的三條內角平分線交與點M。 AD、BE、CF 交與點 M，則有迪沙格定理知，兩個三角形對應邊連線的交點共線。 設 AB 與DE 交與 G’，AC 與 DF 交與 H’，BC 與 EF 交與 I’，則 G’、H’、I’三點共線。又 ACB 的外角平分線交AB 與 G，ABC 的外角平分線交 AC 與 H， CAB 的外角平分線交 BC 與 I，所以有（BA,FG）=-1,(BC,DI)=-1,(CA,EH)=-1. 在完全四點形 CDME 中由調和性知（BA， FG’）=-1。所以有（ BA,FG）=（BA ，FG’）=-1.，即 G 與 G’重合。同理可知， H 與 H’，I 與 I’重合，所以 G，H，I 三點共線。

例 4：用無刻度直尺完成以下作圖：已知一線段 BC 中點 Q 及其線外一點 A，求過 A 作該線段的平行線。

方法：

（1）連接 BA ，並在其延長線上取一點 E。

（2）連接 CA ， QE 交與點 F。

（3）連接 BF、CE 交與點 D。

（4）連接 AD ，則直線 AD 為所求直線。