正交投影

投影的嚴格定義是：一個從向量空間V射到它自身的線性變換P是投影，當且僅當。另外一個定義則較為直觀：P是投影，當且僅當存在V的一個子空間W，使得P將所有V中的元素都映射到W中，而且P在W上是恆等變換。用數學的語言描述，就是：

，使得

，並且

。 ^[1] 

在現實生活中，陽光在地面上留下各種影子。這就是投影變換最直白的例子。可以理想化地假設陽光都是沿着同一個方向（比如説垂直於地面的角度）照射而來，大地是嚴格的平面，那麼，對於任意一個物體（比如説一隻正在飛行的鳥），它的位置可以用向量(x,y,z)來表示，而這隻鳥在陽光下對應着一個影子，也就是(x,y,0)。這樣的一個變換就是一個投影變換。它將三維空間中的向量(x,y,z)到映射到向量(x,y,0)。這是在x-y平面上的投影。這個變換可以用矩陣表示為

因為對任意一個向量(x,y,z)，這個矩陣的作用是：

注意到如果一個向量原來就是表示地面上的一點的話（也就是説它的z分量等於0），那麼經過變換P後不會有改變。也就是説這個變換在子空間x-y平面上是恆等變換，這證明了P的確是一個投影。

另外，

所以P=P²，這也證明P的確是投影。 ^[2] 

這裏假定投影所在的向量空間V是有限維的（因此不需要考慮如投影的連續性之類的問題）。假設子空間U與W分別為P的像空間與零空間（也叫做核）。那麼按照定義，有如下的基本性質：

P在像空間U上是恆等變換：

。

整個向量空間可以分解成子空間U與W的直和：

。也就是説，空間裏的每一個向量

，都可以以唯一的方式寫成兩個向量

與

的和：

，並且滿足

、

。事實上，每一個向量

都可以寫成

。

顯然在像空間中，而另一方面

，所以

在零空間中。

用抽象代數的術語來説，投影P是冪等的線性變換。因此它的極小多項式是

。因式分解後可以看到，這個多項式只有相異的單根（沒有多重根），因此P是可對角化矩陣。極小多項式也顯示出了投影的特性：像空間與零空間分別是是對應於特徵值1和0的特徵空間，並給出了整個空間的一個直和分解。

正如日常生活中陽光沿着一定的方向將影子投射到地面上，一般的投影變換也可以稱為是沿着W到U上的投影。由於向量空間分解成直和的方式一般不是唯一的（陽光可以順着不同的方向照射），給定一個子空間V（地面），一般的説有很多到V的投影（沿不同的W）。 ^[2] 

如果向量空間被賦予了內積，那麼就可以定義正交和其它相關的概念(比如線性算子的自伴隨性)了。在內積空間（賦予了內積的向量空間）中，有正交投影的概念。具體來説，正交投影是指像空間U和零空間W相互正交子空間的投影。也就是説，任意

，

，它們的內積

都等於0。一個投影是正交投影，當且僅當它是自伴隨的變換，這意味着正交投影的矩陣有特殊的性質。如果投影是在實向量空間中，那麼它對應的矩陣是對稱矩陣：

。如果投影是在虛向量空間中，那麼它的矩陣則是埃爾米特矩陣：

。實際上，如果投影

是自伴算子，那麼

其中

表示

的伴隨算子(內積符號左右同乘以一個正交矩陣P不改變結果：因為u|v=u*v,所以Pu|Pv=(Pu)*Pv=u*P*Pv=u*v=u|v)

。

正交投影的最簡單的情況是到（過原點）直線上的正交投影。如果u是這條直線的單位方向向量，則投影給出為

這個算子保留u不變（

），並且它作用在所有正交於u的向量上都是0（如果

，那麼

），證明它的確是到包含u的直線上的正交投影。

這個公式可以推廣至到在任意維的子空間上的正交投影。設u₁,…,u_k是子空間U的一組正交基，並設A為一個n×k的矩陣，它的列向量是u₁,…,u_k。那麼投影：

也是正交的。矩陣A是在U的正交補變為零的偏等距同構，而A是把U嵌入底層向量空間的等距同構。P_A的值域因此是A的“終空間”(finalspace)。AA是在U上的恆等算子也是明顯的。

正交條件也可以去除。如果u₁,…,u_k是(不必須正交)基，而A是有這些向量作為列的矩陣，則投影是

矩陣A仍把U嵌入到低層向量空間中但一般不再是等距的。矩陣(AA)是恢復規範的“規範化因子”。

所有這些公式對於複數內積空間也成立，假如用共軛轉置替代轉置。

術語斜投影有時用來提及非正交投影。這些投影也用來在二維繪圖中表示空間圖形(參見斜投影)，儘管不如正交投影常用。

斜投影用它們的值域和零空間來定義。有給定值域和零空間的投影的矩陣表示的公式可如下這樣找到。設向量u₁, …,u_k形成了投影的值域的基，並把這些向量組合到n×k矩陣A中。值域和零空間是互補空間，所以零空間有維度n−k。它推出零空間的正交補有維度k。設v₁, …,v_k形成這個投影的零空間的正交補的基，並把這些向量組合到矩陣B中。則投影定義為

這個表達式一般化上面給出的正交投影公式。 ^[2] 

假定X是巴拿赫空間，給定的X的直和分解成補子空間仍指定一個投影，反之亦然。如果X是直和X=U⊕V，則定義自P(u+v)=u的算子仍是有值域U和核V的投影。明顯的也P=P。反過來説，如果P是在X上的投影，就是説P=P，則很容易驗證(I−P)=(I−P)。換句話説，(I−P)也是投影。關係I=P+(I−P)藴涵了X是直和Ran(P)⊕Ran(I−P)。

但是相對於有限維情況，投影一般不必須是連續的。如果X的子空間U在規範拓撲下不閉合，則到U上的投影是不連續的。換句話説，連續投影P的值域一定是閉合子空間。進一步的，連續投影(事實上，一般的連續線性算子)的核是閉合的。所以連續投影P把X分解成兩個互補的閉合子空間:X=Ran(P)⊕Ker(P)=Ran(P)⊕Ran(I−P)。

反命題在有額外假定條件下也成立。假設U是X的閉合子空間。如果存在一個閉合子空間V使得X=U⊕V，則有值域U和核V的投影P是連續的。這是從閉合圖定理推出的。假定x_n→x而Px_n→y。需要證明Px=y。因為U是閉合的且{Px_n}⊂U,y位於U中，就是説Py=y。還有x_n−Px_n=(I−P)x_n→x−y。因為V是閉合的且{(I−P)x_n}⊂V，我們有了x−y∈V，就是説P(x−y)=Px−Py=Px−y=0，這證明了這個斷言。

上述論證利用U和V都是閉合的假定。一般的説，給定一個閉合子空間U,不需要存在一個互補的閉合子空間V，儘管對於希爾伯特空間總是可以採取正交補得到。對於巴拿赫空間，一維子空間總是有閉合的補子空間。這是哈恩-巴拿赫定理的直接推論。設U是u的線性擴張。通過哈恩-巴拿赫定理，存在一個有界線性泛函φ，使得φ(u)=1。算子P(x)=φ(x)u滿足P=P，就是説它是個投影。φ的有界性藴涵了P的連續性，因此Ker(P)=Ran(I−P)是U的閉合補子空間。 ^[2]