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埃爾米特矩陣
鎖定
n階複方陣A的對稱單元互為共軛,即A的共軛轉置矩陣等於它本身,則A是埃爾米特矩陣(Hermitian Matrix)。顯然埃爾米特矩陣是實對稱矩陣的推廣。
埃爾米特矩陣與厄米矩陣都是相同的含義,均翻譯自同一個詞Hermitian Matrix。埃爾米特矩陣是數學領域的規範譯名,而厄米矩陣是物理學領域的規範譯名。
埃爾米特矩陣定義
n階複方陣A的對稱單元互為共軛,即A的共軛轉置矩陣等於它本身,則A是埃爾米特矩陣(Hermitian Matrix)。顯然埃爾米特矩陣是實對稱陣的推廣。
A=A^H
埃爾米特矩陣推論
(1)n階埃爾米特矩陣A為正定(半正定)矩陣的充要條件是A的所有特徵值大於(大於等於)0。
(2)若A是n階埃爾米特矩陣,其特徵值對角陣為V,則存在一個酉矩陣U,使AU=UV。
(3)若A是n階埃爾米特矩陣,其弗羅伯尼範數的平方等於其所有特徵值的平方和
[1]
。
(4)斜埃爾米特矩陣為A的共軛轉置為-A
埃爾米特矩陣的特徵值全是實數。更進一步,埃爾米特矩陣都是正規矩陣。因此它們是可對角化的,它們不同的特徵向量一定是正交的。
埃爾米特矩陣性質
1.若A和B是埃爾米特矩陣,那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣;而只有在A和B滿足交換性(即AB=BA)時,它們的積才是埃爾米特矩陣。
2.可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣仍然是埃爾米特矩陣。
3.如果A是埃爾米特矩陣,對於正整數n,
是埃爾米特矩陣。
4.方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。
5.方陣C與其共軛轉置的差是斜埃爾米特矩陣。
6.任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。
7.埃爾米特矩陣是正規矩陣,因此埃爾米特矩陣可被酉對角化,而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着埃爾米特矩陣的特徵值都是實的,而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交,因此可以在這些特徵向量中找出一組的正交基。
如果A是斜埃爾米特矩陣,那麼iA是埃爾米特矩陣。
如果A, B是斜埃爾米特矩陣,那麼對於所有的實數a, b,aA + bB也一定是斜埃爾米特矩陣。
如果A是斜埃爾米特矩陣,那麼對於所有的正整數k,A2k都是埃爾米特矩陣。
如果A是斜埃爾米特矩陣,那麼A的奇數次方也是斜埃爾米特矩陣。
如果A是斜埃爾米特矩陣,那麼e^A是酉矩陣。
一個矩陣和它的共軛轉置的差是斜埃爾米特矩陣。
任意一個方塊矩陣C都可以寫成一個埃爾米特矩陣A和一個斜埃爾米特矩陣B的和。