對角化

對角矩陣是指只有主對角線上含有非零元素的矩陣，即，已知一個n×n矩陣

，如果對於

，則該矩陣為對角矩陣。如果存在一個矩陣

，使

的結果為對角矩陣，則稱矩陣

將矩陣

對角化。對於一個矩陣來説，不一定存在將其對角化的矩陣，但是任意一個n×n矩陣如果存在n個線性不相關的特徵向量，則該矩陣可被對角化 ^[1]  。

定理1 令

為n×n矩陣，其特徵值為

，特徵向量為

，形成線性無關集合，以每個特徵向量為列構成矩陣

，如下所示。

矩陣

可以將矩陣

對角化，乘積矩陣

的主對角元素是矩陣

的特徵值：

反之，如果存在可逆矩陣

，使

為對角矩陣，則矩陣

的列等於矩陣

的特徵向量，

的主對角元素為矩陣

的特徵值 ^[1]  。

證明：首先計算矩陣乘積

。由於矩陣

的第j列對應特徵向量

，則

的第j列等於

。由於

為特徵向量，則

，矩陣乘積

可寫為

由於特徵向量

線性無關，矩陣

可逆，

的表達式可寫為

反之，也可證明，可將矩陣

對角化的可逆矩陣

必定由

的特徵向量組成。假設

為n×n對角矩陣，且

，其中

為n×n矩陣，有

令

表示矩陣

的第j列，

為矩陣D的主對角線上的元素，則矩陣乘積AD的表達式如下：

另，矩陣乘積MA如下：

令AD的第j列等於MA的第j列，則

，因此

是與特徵值

對應的矩陣M的特徵向量。 證畢。

由於對稱矩陣M的特徵向量是正交的，則以M的單位長度的特徵向量為列構成的矩陣

是正交矩陣，因此

。由對稱矩陣M的特徵值組成的矩陣D的表達式如下 ^[1]  ：

對角矩陣(diagonal matrix)是一個主對角線之外的元素皆為0的矩陣。對角線上的元素可以為0或其他值。對角線上元素相等的對角矩陣稱為數量矩陣；對角線上元素全為1的對角矩陣稱為單位矩陣。

（1）對角矩陣形如：

（2）對角矩陣可以記作：

。

（3）當

時，對角陣

稱為數量矩陣。

（4）當

時，叫做單位矩陣，記作E，有

。

同階對角陣的和、差仍是對角陣，有：

數與對角陣的乘積仍為對角陣，有：

同階對角矩陣的乘積仍為對角陣，且它們的乘積是可交換的，有：

n階矩陣A相似於對角矩陣的充要條件是A有n個線性無關的特徵向量。

證明過程：

（1）必要性。

設有可逆矩陣P，使得

令矩陣P的n個列向量為

，則有

因而

，因為P為可逆矩陣，所以

為線性無關的非零向量，它們分別是矩陣A對應於特徵值

的特徵向量。

（2）充分性。

由必要性的證明可見，如果矩陣A有n個線性無關的特徵向量，設它們為

，對應的特徵值分別為

，則有

，以這些向量為列構造矩陣

，則P可逆，且

，其中C如下：

即

。

若n階矩陣A有n個不同的特徵值，則A必能相似於對角矩陣。

説明：當A的特徵方程有重根時，就不一定有n個線性無關的特徵向量，從而未必能對角化。