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厄米矩陣
鎖定
厄米矩陣（Hermitian matrix）是2019年公佈的物理學名詞。與數學中的埃爾米特矩陣都是相同的含義，均翻譯自同一個詞Hermitian Matrix。埃爾米特矩陣是數學領域的規範譯名，而厄米矩陣是物理學領域的規範譯名，出自《物理學名詞》第三版。
- 中文名
- 厄米矩陣
- 外文名
- Hermitian matrix
- 所屬學科
- 物理學
- 公佈時間
- 2019年
- 別 名
- 埃爾米特矩陣
厄米矩陣定義
將一矩陣A的行與列互換，並取各矩陣元素的共軛複數，得一新矩陣，稱為厄米共軛，以A+表之。此厄米共軛有(AB)+=B+A+的性質。若一矩陣H，其厄米共軛矩陣H+等於本身H，即H+=H，則矩陣H稱為厄米矩陣。
n階複方陣A的對稱單元互為共軛，即A的共軛轉置矩陣等於它本身，則A是厄米矩陣(Hermitian Matrix)。
例如：矩陣
， A就是一個自共軛矩陣。
在物理系統中，其可觀察的物理量(例如座標、動量、能量等等)，在量子力學中可視為一算符，此算符有對應的本徵向量和本徵值，算符所對應的本徵向量代表物理系統的狀態，物理量發的結果就是本徵值。因此，如用矩陣表示算符，則一定是厄米矩陣，因為厄米矩陣的本徵值為實數，所以也是可觀察的量。
厄米矩陣性質
顯然，埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的，其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣（實矩陣），如果它是對稱陣，即所有元素關於主對角線對稱，那麼它也是埃爾米特矩陣。也就是説，實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。
若A和B是埃爾米特矩陣，那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣；而只有在A和B滿足交換性（即AB=BA）時，它們的積才是埃爾米特矩陣。
可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣
仍然是埃爾米特矩陣。
如果A是埃爾米特矩陣，對於正整數n，
是埃爾米特矩陣。
方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。
任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。
埃爾米特矩陣是正規矩陣，因此埃爾米特矩陣可被酉對角化，而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味着埃爾米特矩陣的特徵值都是實的，而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交，因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。
厄米矩陣推論
（1）n階厄米矩陣A為正定（半正定）矩陣的充要條件是A的所有特徵值大於（大於等於）0。
（2）若A是n階厄米矩陣，其特徵值對角陣為V，則存在一個酉矩陣U，使AU=UV。
（3）若A是n階厄米矩陣，其弗羅伯尼範數的平方等於其所有特徵值的平方和。
厄米矩陣對稱矩陣與厄米矩陣
實數域上的一個n階矩陣A，如果A=A'，則稱A為對稱矩陣。例如：
厄米矩陣
有兩個比較明顯的事實
(1)如果一個厄米矩陣A的元素都是實數，則`A′=A′，厄米矩陣就是對稱矩陣。
(2)如果A是對稱矩陣，C是正交矩陣，則C-1AC是對稱矩陣。
厄米矩陣公佈時間
2019年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發佈。
厄米矩陣出處
- 參考資料
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- 1. 厄米矩陣 ．術語在線[引用日期2020-08-24]
