半正定矩陣

正定矩陣的研究最先出現於二次型與Hermite型的研究中，而且只限於對實對稱矩陣或Hermite矩陣的使用。隨着數學本身及其它學科(如數學規劃、投入產出的矩陣理論、現代控制等)的需要,有不少人開始研究未必對稱的較為廣義的正定矩陣。 ^[2] 

定義1 設A是n階方陣，如果對任何非零向量X，都有X'AX≥0，其中X'表示X的轉置，就稱A為半正定矩陣。

（常用定義）

定義2 設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX≥0，則稱A為半正定矩陣，稱X'AX為半正定二次型。（其中，X'表示X的轉置。） ^[1] 

注 ^[1]  ：1）設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX>0，則稱A為正定矩陣，稱X'AX為正定二次型。

2）設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX<0，則稱A為負定矩陣，稱X'AX為負定二次型。

3） 設A為實對稱矩陣，若對於每個非零實向量X，都有X'AX≤0，則稱A為半負定矩陣，稱X'AX為半負定二次型。

4）設A為實對稱矩陣，若A既不是半正定又不是半負定，則稱A為不定矩陣，稱X'AX為不定二次型。

5） 設A為Hermite矩陣，若對於每個非零復向量X，都有X*AX≥0，則稱A為半正定復矩陣。（其中，X*表示X的共軛轉置。）

1.半正定矩陣的行列式是非負的。 ^[3] 

2.兩個半正定矩陣的和是半正定的。 ^[3] 

3.非負實數與半正定矩陣的數乘矩陣是半正定的。 ^[3] 

定理 ^{[1]  [3]}  設A是n階實對稱矩陣，則下列的條件等價：

1.A是半正定的。

2.A的所有主子式均為非負的。

3.A的特徵值均為非負的。

4.存在n階實矩陣C，使A=C′C.

5.存在秩為r的r×n實矩陣B，使A=B′B.