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斜埃爾米特矩陣

一個方陣A是斜埃爾米特矩陣或反埃爾米特矩陣^[1] (Skew-Hermitian or Antihermitian Matrix)，如果它的共軛轉置A*是它的負數。

斜埃爾米特矩陣定義

對於方陣A，有

；或對其中每個元素均有：

，其中

，則該矩陣為斜埃爾米特矩陣。^[2]

下面這兩個矩陣都是斜埃爾米特矩陣：

(1) 任何一個方陣都可以寫成一個埃爾米特矩陣和一個斜埃爾米特矩陣的和^[1]

(2) 斜埃爾米特矩陣的特徵值均為虛數

(3) 斜埃爾米特矩陣都是正規矩陣，因此它們是可對角化的，它們不同的特徵向量一定是正交的

(4) 斜埃爾米特矩陣的主對角線上的所有元素都一定是純虛數或0

(5) 若A是斜埃爾米特矩陣，則iA是埃爾米特矩陣

(6) 若A, B是斜埃爾米特矩陣，則對於所有的實數a, b，aA + bB也一定是斜埃爾米特矩陣

(7) 若A是斜埃爾米特矩陣，則對於所有的正整數k，A^2k都是埃爾米特矩陣

(8) 若A是斜埃爾米特矩陣，則A的奇數次方也是斜埃爾米特矩陣

(9) 若A是斜埃爾米特矩陣，則e^A是酉矩陣，e為自然對數的底

(10) 一個矩陣和它的共軛轉置的差是斜埃爾米特矩陣

參考資料

詞條統計