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極小多項式
鎖定
- 中文名
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極小多項式
- 外文名
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Minimal polynomial (linear algebra)
- 適用領域
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數學、代數
- 所屬學科
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數學
極小多項式簡介
在抽象代數中，一個域上的
代數元 之
極小多項式（或
最小多項式）是滿足
的最低次首一
多項式(多項式內最高次項之係數為1)
。此概念對
線性代數與
代數擴張的研究極有助益。
[1]
極小多項式形式定義
設
為一個域，
為有限維
-
代數。對任一元素
，集合
張出
有限維向量空間，所以存在非平凡的線性關係 ：
可以假設
，此時多項式
滿足
。根據
多項式環裏的除法，可知這類多項式中只有一個次數最小者，稱之為
的
極小多項式。
由此可導出極小多項式的次數等於
，而且
可逆當且僅當其極小多項式之常數項非零，此時
可以表成
的多項式。
[2]
極小多項式矩陣的極小多項式
考慮所有
矩陣構成的
-代數
，由於
，此時可定義一個
矩陣之極小多項式，而且其次數至多為
；事實上，根據
凱萊-哈密頓定理，可知其次數至多為
，且其根屬於該矩陣的
特徵值集。
極小多項式是矩陣分類理論（
若爾當標準型、有理標準形）的關鍵。
[3]
極小多項式極小多項式與代數擴張
設
為
的有限擴張，此時可視
為有限維
-代數。根據域的性質，極小多項式必為素多項式。元素的
跡數及
範數等不變量可以從極小多項式的係數讀出。
[3]
極小多項式參見
- 參考資料
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1.
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
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2.
Rotman, Joseph J. (2002), Advanced Modern Algebra, Prentice Hall, ISBN 9780130878687
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3.
McCarthy, Paul J. (1991) [corrected reprint of 2nd edition, 1976], Algebraic extensions of fields, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl 0768.12001
