代數擴張

在抽象代數中，一個域擴張（通常記作）被稱作代數擴張，當且僅當每個的元素都是在上代數的，即：滿足一個係數佈於的非零多項式。反之則稱超越擴張。

設為任意的域擴張，可以看作是上的向量空間。

定義為其維度，稱作這個擴張的次數。有限次數的擴張（簡稱有限擴張）都是代數擴張；反之，給定一個代數擴張，則裏的任一元素都落在一個有限子擴張內，因此一個代數擴張可表作有限子擴張的歸納極限。 ^[1] 

代數擴張是一類重要的域擴張。若E中元皆為F上的代數元，則稱此域擴張為代數擴張，E稱為F的代數擴域，否則稱為超越擴張，而E稱為F的超越擴域。代數擴張具有傳遞性。當α是F上代數元時，其單代數擴域F(α)同構於F[x]/(p(x))，p(x)是α的最小多項式，(p(x))表F[x]中由p(x)生成的主理想。

對於一個數域P，如果ξ是域P上的一個不可約多項式在其擴域上的一個根，我們把ξ和域P的元素之間的和、差、積、商所組成的數集叫做域P上的一個代數擴張。

交換體K的擴張K′稱為是代數擴張，如果K′的所有元素都是K上的代數元素。

為使K是代數封閉的，必須且只須K的任一代數擴張都等於K。 ^[2] 

抽象代數是描述代數類型的一個術語，與近世代數和一般代數同義。它是從本世紀20年代中期發展起來的，並已成為現代數學的基本用語。以前的代數是高度計算性的，並且只限於研究一般以實數和複數為基礎的特定數系。而抽象代數與之相反，它是概念性的、公理化的，討論的是非特定的任意元素集合的系統以及滿足已規定的若干公理的某些合成法。抽象代數討論若干重要的代數結構，諸如羣、環、格等，這種結構由一集合S構成，它的元素並未指定其性質，且在S上賦予了若干個有限重的合成法。如r為一正整數，一個r重合成法就是使S中任意r個元的組a₁，a₂，…，ar對應於S中唯一的元ω(a₁，a₂，…，a_r)。

在代數結構的研究中，相當大的一部分可以用統一的方法來開展，而不必限定特殊的結構。但抽象代數較深的方面卻要求對各個系的特殊化，其多樣性在很大程度上是由於它們可應用於數學的其它領域及物理學、化學等，因而對代數結構的一般研究也稱為代數論，其基本概念有同態、同構等。

抽象代數有較強的包括新學科的能力，例如同調代數在數論和羣論中都有重要的應用，同調代數的產物——範疇理論已在整個數學領域有所應用。 ^[3] 

域擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間.研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α₁，α₂，…，α_n}是有限集合時，F(α₁，α₂，…，α_n)稱為添加α₁，α₂，…，α_n於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張).它由一切形如：

f(α₁，α₂，…，α_n)/g(α₁，α₂，…，α_n)

的元組成，其中α₁，α₂，…，α_n∈S，f，g是F上的n元多項式且：

g(α₁，α₂，…，α_n)≠0.

由於這個原因，當F(α₁，α₂，…，α_n)關於F的超越次數≥1時，F(α₁，α₂，…，α_n)也稱為F上的代數函數域.當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域.F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。

純超越擴張是一類重要的超越擴張。設擴域K在F上的超越基為S，若K=F(S)，則稱此域擴張為純超越擴張，K為F的純超越擴域。此時，K與F上一組未定元X的多項式環F[X]的分式域(商域)F(X)同構，其中X與S的基數相等。一般地，設K是F的任一擴域，若其超越基為S，則F(S)是F的純超越擴域，K為F(S)的代數擴域。這樣，一個域擴張可分成兩種特殊的域擴張來研究，即FF(S)K。超越次數為1的純超越擴張稱為單超越擴張。 ^[4]