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伽羅瓦擴張

鎖定
伽羅瓦擴張:在數學中,如果一個域擴張 K/k 既是一個正規擴張又是可分擴張,那 K/k 就是一個伽羅瓦擴張。注意正規擴張隱含了 K/k 是一個代數擴張。 [1] 
中文名
伽羅瓦擴張
外文名
galois extension
領    域
數學
類    型
名詞
類    別
數學術語

伽羅瓦擴張定義

對於一個伽羅瓦擴張 K/k,可以定義伽羅瓦羣,為所有 K/k 的自同構構成的羣。抽象代數, 研究代數的具體結構,羣、環、域、模,域的可分正規擴張——伽羅瓦擴張。(定義在什麼樣的物體上可以進行所謂的測量,嚴格的從數學的公理化出發進行定義)
伽羅瓦擴張抽象代數伽羅瓦理論的核心概念之一。伽羅瓦擴張是域擴張的一類。如果某個域擴張L/K既是可分擴張也是正規擴張,則稱其為伽羅瓦擴張。另一個等價的定義是:伽羅瓦擴張是使得其上的環自同構羣的固定域為其基域的域擴張。伽羅瓦擴張上的自同構羣稱為伽羅瓦羣,而且伽羅瓦擴張的中間域與其伽羅瓦羣的子羣之間的關係滿足伽羅瓦理論基本定理 [1] 

伽羅瓦擴張等價定義

給定有限的域擴張L/K。L/K是伽羅瓦擴張,當且僅當它滿足以下三個相互等價的條件中的任何一個:
L/K是可分正規擴張 [2] 
L是某個以K中元素為係數的多項式在K的分裂域,而且該多項式在此分裂域中沒有重根。
[L:K] = |Aut(L/K)|。域擴張L/K的次數,等於其上的自同構羣Aut(L/K)的階數(羣元素的個數)。
Aut(L/K)的不變域,即
,是K。

伽羅瓦擴張例子

以下諸例中 F 是一個域,C、R、Q 分別為複數、實數與有理數域。記號 F(a) 表示通過添加一個元素 a 到域 F 中得到的域擴張。 [1] 
Gal(F/F) 是一個元素的平凡羣,即恆同自同構。
Gal(C/R) 有兩個元素,恆同自同構與複共軛自同構。
Aut(R/Q) 平凡。事實上可以證明任何 Q-自同構一定保持實數的順序,從而必然是恆同。
Aut(C/Q) 是一個無限羣。
Gal(Q(√2)/Q) 有兩個元素,恆同自同構與將 √2 和 ?√2 互換的自同構。
考慮域 K = Q(3√2)。羣 Aut(K/Q) 只包含恆同自同構。因為 K 不是正規擴張,這是因為其它兩個三次根(都是複數)不在擴張中——換句話説 K 不是一個分裂域。
考慮 L = Q(3√2, ω),這裏 ω 是本原三次單位根。羣 Gal(L/Q) 同構於6階二面體羣 S3,事實上 L是 x3 ? 2 在 Q 上的分裂域。

伽羅瓦擴張性質

如果域擴張基域的特徵為0,那麼所有代數擴張都是可分擴張,這時所有的正規擴張都是伽羅瓦擴張。
如果域擴張L/K是伽羅瓦擴張,則中間擴張K⊂F⊂L中,L/F也是伽羅瓦擴張。
域K的代數閉包K是K的伽羅瓦擴張,當且僅當K是完美域。

伽羅瓦擴張事實

一個擴張是伽羅瓦型的重要性是因為它滿足伽羅瓦理論基本定理(fundamental theorem of Galois theory:伽羅瓦羣的子羣對應於這個域擴張的中間擴張。
如果 E/F 是伽羅瓦擴張,則 Gal(E/F) 能給出一個拓撲,稱為克魯爾拓撲(Krull topology),使其成為一個投射有限羣(profinite group)。
參考資料
  • 1.    David A. Cox. Galois Theory. John Wiley & Sons, 1st Edition. 2004. ISBN 9780471434191
  • 2.    Serge Lang. Algebra. Springer-Verlag. 2002. ISBN 978-0-387-95385-4.