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正規擴張
鎖定
- 中文名
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正規擴張
- 外文名
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Normal expansion
- 領 域
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數學
- 應 用
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抽象代數;代數擴張
正規擴張定義
正規擴張的定義不止一種,以下三個準則都可以刻畫(有限)正規擴張,是三個等價的定義。域擴張L/K是正規擴張當且僅當它滿足以下三個等價條件中任意一個
[1]
:
設
K是一個包含了L的K的
代數閉包。對於
L在
K上的每一個
嵌入σ,只要它限制在K上的部分是平凡的(即為恆等映射:σ(x)=
x),那麼就有σ(
L) =
L。換句話説,L在
K上的每一個K-嵌入σ都是一個L上的K-
自同構。
任意一個
K[
X]上的
不可約多項式,只要它在L中有一個根,那麼就可以在
L[
X]分解成一次因式的乘積(或者説全部的根都在L中)。
正規擴張例子
是
的一個正規擴張,因為它是
上的多項式
的分裂域。然而,
並不是
的一個正規擴張,因為
上的不可約多項式
有一個根:
在
裏面,但它的另外兩個根:
和
都是
複數,不在
裏面。只有在加入了三次單位根:
後的擴域
才是一個正規擴張。
也可以用正規擴張的第二個定義來證明
不是
的正規擴張。設域
是由所有復
代數數生成的擴域,則
是
的一個代數閉包,並且
在
裏面。另一方面,
是
在
上的一個嵌入,並且它限制在
上的部分是平凡的(將
中元素映射到自己)。但是σ並不是
上的自同構。
更一般地,對每一個素數p,域擴張
都是
的一個正規擴張,擴張的次數是p(
p-1)。
是
上的多項式
的分裂域。其中的
是任意一個複數p次
單位根。
正規擴張性質
1) 如果L是K的正規擴張,並且F是一個子擴張(也就是説有擴張K⊂F⊂L)那麼L也是F的正規擴張。
2) 如果L的子域E和F都是K的正規擴張,那麼兩者的複合擴張EF(指L的子域中同時包含E和F的最小者)以及兩者的交E∩F也都是K的正規擴張。
正規擴張正規閉包
設有域擴張L/K,那麼總存在域擴張M/L,使得M/K是正規擴張。在
同構意義上,最小的這樣的擴張是唯一。即是説,其他的域擴張N/L如果使得N/K是正規擴張,那麼總存在N/L的子擴張M'/L,使得M'同構於M。這個唯一的“最小”正規擴張M/L稱為域擴張L/K的
正規閉包。
如果L/K是有限擴張,那麼它的正規閉包M/L也是有限擴張(因此M/K也是有限擴張)。
- 參考資料
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1.
[1]傅士太. 正規擴張和不動環的半局部性[J]. 哈爾濱建築工程學院學報,1990,03:123-126.
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2.
[2]傅士太. 不動環和正規擴張的性質[J]. 吉林大學自然科學學報,1989,03:14-18.