可分擴張

可分擴張是一種重要的域擴張。其特徵為p的域F的任意擴張K/F，Ω是K的代數閉包，若K與

F={α∈Ω|α∈F}

在F上是線性分離的，則稱K/F是可分擴張。當F是完備域時，F上任何擴張都是可分擴張。當K/F是代數擴張時，若α∈K在F上的最小多項式是可分多項式，則稱α是(F上的)可分代數元(簡稱F上可分元)。若K中每個元均為F上可分元，則稱K是F上可分擴張。若K/F有一個超越基S，使得K是可分的，則稱S是可分超越基.若K/F有這樣一個可分超越基，則稱此擴張K/F是可分生成的。完備域上的有限生成擴張均為可分生成擴張。可分擴張具有傳遞性。當K/F是有限生成，而且是可分擴張時，K/F是可分生成的。反之，可分生成的擴張必然是可分擴張。 ^[2] 

可交換的除環叫做域，它是代數學的基本概念之一。

域的概念在19世紀代數學的發展中逐步形成並明確起來。在伽羅瓦的著作中就包含了域的概念，他的域就是由方程的係數生成的域，他的擴域是經添加方程的一個根作成的。在拉格朗日關於羣論的論文和高斯關於數論的論文中也有了域的思想。域的概念是在克羅內克和戴德金關於代數數的論文中，從不同角度引入的。戴德金把他所引入的域的概念最初稱為“有理區域”，他關於域的理論發表在對狄利克雷《數論講義》一書所作的評註和附錄中。他在那裏從本質上補充並擴展了數論、理想論和有限域論。“域”這個術語首次出現在該書1871年的版本中。在19世紀，已經知道的具體的域有：有理數域、實數域、複數域、代數數域和有理函數域。1908年，德國數學家亨澤爾又引進了一類p-進域，並進行了系統研究。

域的抽象理論開始於德國數學家韋伯的工作。1893年他曾給伽羅瓦理論以抽象的闡述，其中引進域的概念作為羣的派生，並強調羣和域是代數的兩個主要概念。1903年美國數學家迪克森和亨廷頓建立了一個獨立的域的公理體系。

德國數學家施泰尼茨在韋伯的工作的影響下，對抽象域進行了綜合研究。按照他的觀點，每一個域都可以從它的素域(所有子域的公共元素所構成的子域)出發，經過適當的添加而得到。由此引進了代數擴張和域的特徵的概念。他還研究了伽羅瓦方程理論在域中的有效性問題。他的研究成果都包含在他寫於1910年的論文《域的代數理論》中。

19世紀末到20世紀初，美國數學家得到有限域的一些結果，如有限抽象域都與某一個伽羅瓦域同構(穆爾，1893);任何有限域必須是交換的(韋德伯恩、迪克森，1905)等等。

20世紀以來，對抽象域的研究又有新的進展，中國數學家曾炯之做出了一定貢獻。

域的擴張是域論的基本概念之一。若域K包含域F作為它的子域，則稱K是F的一個擴張(或擴域)，F稱為基域，常記為K/F。此時，K可以看成F上的向量空間。研究擴域K(相對於基域F)的代數性質，是域論研究的一個基本內容。

若域E是F的擴域，K是E的擴域，則稱E是域擴張K/F的中間域。若K/F是域擴張，S是K的子集，且F(S)是K的含F與S的最小子域，稱F(S)為F添加S的擴域。當S={α₁，α₂，…，α_n}是有限集合時，F(α₁，α₂，…，α_n)稱為添加α₁，α₂，…，α_n於F的有限生成擴域(或者F上的有限生成擴張)。它由一切形如：

f(α₁，α₂，…，α_n)/g(α₁，α₂，…，α_n)

的元組成，其中α₁，α₂，…，α_n∈S，f，g是F上的n元多項式且：

g(α₁，α₂，…，α_n)≠0.

由於這個原因，當F(α₁，α₂，…，α_n)關於F的超越次數≥1時，F(α₁，α₂，…，α_n)也稱為F上的代數函數域。當S={α}時，稱F(α)為F的單擴張域，也稱本原擴域。F的有限代數擴域K是單擴域的充分必要條件是，擴域K與基域間存在有限箇中間域。這是施泰尼茨(Steinitz，E.)證明的。 ^[3] 

代數閉包是實線性空間中的集合的代數意義下的閉包。設A為實線性空間X中的集合。A的代數閉包是指這樣的點b∈X的全體：存在h∈X，對於任何ε>0，存在λ∈[0，ε]，使得b+λh∈A.A的代數閉包常記為acl(A)。如果A=acl(A)，那麼A稱為代數閉集。它也是X在以代數開集為開集的拓撲意義下的閉集，即代數閉集的餘集必定是代數開集；反之亦然.代數閉包的概念在敍述凸集分離定理時也起重要作用。

有的文獻定義代數閉包時，要求對於任何λ∈(0，ε)都有b+λh∈A.這時代數閉集就不再是代數開集的餘集。但當A是多於一點的凸集時，由這兩種定義得到的代數閉包是相同的。

一個域的最大代數擴域叫做代數閉包。若域F的代數擴域Ω為代數閉域，則稱Ω為域F的一個代數閉包。一個域F的代數閉包總是存在的，並且在F同構意義下惟一。這個基本定理來自施泰尼茨(Steinitz，E.)。設K是域F的擴域，在K中F上代數元的全體組成的子域A稱為F在K內的代數閉包，它是F在K內的最大代數擴域。特別地，若F=A，則稱F在K內是代數閉的。 ^[4]