正規擴張

正規擴張的定義不止一種，以下三個準則都可以刻畫（有限）正規擴張，是三個等價的定義。域擴張L/K是正規擴張當且僅當它滿足以下三個等價條件中任意一個 ^[1]  ：

是

的一個正規擴張，因為它是

上的多項式

的分裂域。然而，

並不是

的一個正規擴張，因為

上的不可約多項式

有一個根：

在

裏面，但它的另外兩個根：

和

都是複數，不在

裏面。只有在加入了三次單位根：

後的擴域

才是一個正規擴張。

也可以用正規擴張的第二個定義來證明

不是

的正規擴張。設域

是由所有復代數數生成的擴域，則

是

的一個代數閉包，並且

在

裏面。另一方面，

並且，如果記

是

的復根之一，那麼映射：

是

在

上的一個嵌入，並且它限制在

上的部分是平凡的（將

中元素映射到自己）。但是σ並不是

上的自同構。

更一般地，對每一個素數p，域擴張

都是

的一個正規擴張，擴張的次數是p(p-1)。

是

上的多項式

的分裂域。其中的

是任意一個複數p次單位根。

設有域擴張L/K，那麼 ^[2]  ：

1) 如果L是K的正規擴張，並且F是一個子擴張（也就是説有擴張K⊂F⊂L）那麼L也是F的正規擴張。

2) 如果L的子域E和F都是K的正規擴張，那麼兩者的複合擴張EF（指L的子域中同時包含E和F的最小者）以及兩者的交E∩F也都是K的正規擴張。

設有域擴張L/K，那麼總存在域擴張M/L，使得M/K是正規擴張。在同構意義上，最小的這樣的擴張是唯一。即是説，其他的域擴張N/L如果使得N/K是正規擴張，那麼總存在N/L的子擴張M'/L，使得M'同構於M。這個唯一的“最小”正規擴張M/L稱為域擴張L/K的正規閉包。

如果L/K是有限擴張，那麼它的正規閉包M/L也是有限擴張（因此M/K也是有限擴張）。