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可對角化矩陣
鎖定
可對角化矩陣是線性代數和矩陣論中重要的一類矩陣。如果一個方塊矩陣 A 相似於對角矩陣，也就是説，如果存在一個可逆矩陣 P 使得 P −1AP 是對角矩陣，則它就被稱為可對角化的。如果 V 是有限維度的向量空間，則線性映射 T ： V → V 被稱為可對角化的，如果存在 V 的一個基，T 關於它可被表示為對角矩陣。對角化是找到可對角化矩陣或映射的相應對角矩陣的過程。
若爾當-謝瓦萊分解表達一個算子為它的對角部分與它的冪零部分的和。
可對角化矩陣定義
如果一個矩陣與一個對角矩陣相似，我們就稱這個矩陣可經相似變換對角化，簡稱可對角化；與之對應的線性變換就稱為可對角化的線性變換。
任取
，則
可作為
上n維線性空間V的某個線性變換
在一組基
下的矩陣。
若
可對角化，即
使
成對角形，則B是
在另一組基
下的矩陣，且
，記B的主對角線元素為
，這是
的全部特徵值，也是
的全部特徵值(因為兩矩陣相似)，由線性變換的矩陣的定義知
反過來，如果
有n個線性無關的特徵向量
，與它們對應的特徵值是
，以
為列向量組作成一個可逆矩陣T，令
，就得到
的n個線性無關的特徵向量
，用
作為V的基，則上述方程組成立，從而
在這組基下的矩陣是對角矩陣
，並且
。
[1]
可對角化矩陣性質定理
可對角化矩陣定理1
m級矩陣
或n維線性空間V的線性變換
可對角化的充要條件是
或
有n個線性無關的特徵向量。當
可對角化時，與它相似的對角矩陣的主對角線上的元素就是
的全部特徵值。
由上面的分析還知道，如果求出了矩陣
的n個線性無關的特徵向量，那麼用這些向量作列向量的矩陣T就使
成對角形，其主對角線上的元素就是
的全部特徵值(按對應的特徵向量排序)。
可對角化矩陣定理2
屬於不同特徵值的特徵向量線性無關。
(1)當
時，因為特徵向量
，它一定線性無關。
(2)假定
時，
線性無關。
當
時，令
用
對兩邊作用得
①式兩邊乘以
得
從②減去③得
由歸納假設得
因為
，所以
，將它們代入①得
，於是
也線性無關。
用
取代
的位置上述推理過程一樣正確，故定理得證。
可對角化矩陣推論1
若
有n個不同的特徵值，則
可對角化。
可對角化矩陣推論2
如果
的特徵多項式在複數域上的根互不相等，那麼
作為複數域上的矩陣一定可以對角化。
可對角化矩陣推論3
可對角化矩陣定理3
矩陣
可對角化的充要條件是
可以表為A的特徵子空間的直和。
證明: 若
可對角化，根據定理1，它有n個線性無關的特徵向量，將它們按所屬的特徵值進行分組得到特徵向量組
可對角化矩陣定理4
矩陣
可對角化的充要條件是A的特徵多項式在
上可以分解為
