lim

“極限”一詞源於拉丁文“limitem”，縮寫為“lim”。1786年瑞士數學家魯易理(Lhuillier)首次引入，後人不斷完善，發展了長達132年之久，由英國數學家哈代(Haddy)的完善極限符號才成為今天通用的符號。

極限是微積分中的基礎概念，它指的是變量在一定的變化過程中，從總的來説逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。

在高等數學中，極限是一個重要的概念。

極限可分為數列極限和函數極限，分別定義如下。

設 {X_n} 為實數列，a 為定數。若對任給的正數 ε，總存在正整數N，使得當 n>N 時總有∣X_n-a∣<ε 則稱數列{X_n} 收斂於a，定數 a 稱為數列 {X_n} 的極限，並記作，或X_n→a（n→∞）

讀作“當 n 趨於無窮大時，{X_n} 的極限等於 或 趨於 a”．

若數列 {X_n} 沒有極限，則稱 {X_n} 不收斂，或稱 {X_n} 為發散數列．

該定義常稱為數列極限的 ε—N定義。

對於收斂數列有以下兩個基本性質，即收斂數列的唯一性和有界性。

定理1：如果數列{X_n}收斂，則其極限是唯一的。

定理2：如果數列{X_n}收斂，則其一定是有界的。即對於一切n（n=1，2……），總可以找到一個正數M，使|X_n|≤M。

對定義的理解：

1、ε的任意性　定義中ε的作用在於衡量數列通項

與常數a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正數ε可以任意地變小，説明xn與常數a可以接近到任何不斷地靠近的程度。但是，儘管ε有其任意性，但一經給出，就被暫時地確定下來，以便靠它用函數規律來求出N;

又因為ε是任意小的正數，所以ε/2 、3ε 、ε等也都在任意小的正數範圍，因此可用它們的數值近似代替ε。同時，正由於ε是任意小的正數，我們可以限定ε小於一個某一個確定的正數。

2、N的相應性　一般來説，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫作N(ε)，以強調N對ε的變化而變化的依賴性。但這並不意味着N是由ε唯一確定的：（比如若n>N使成立，那麼顯然n>N+1、n>2N等也使成立）。重要的是N的存在性，而不在於其值的大小。

3、從幾何意義上看，“當n>N時，均有不等式成立”意味着：所有下標大於N的都落在(a-ε，a+ε)內；而在(a-ε，a+ε)之外，數列{xn} 中的項至多隻有N個（有限個）。換句話説，如果存在某ε0>0，使數列{xn} 中有無窮多個項落在(a-ε0，a+ε0) 之外，則{xn} 一定不以a為極限。

1、唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數列的相等。

2、有界性：如果一個數列’收斂‘（有極限），那麼這個數列一定有界。

但是，如果一個數列有界，這個數列未必收斂。例如數列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”

3、與子列的關係：數列{xn} 與它的任一平凡子列同為收斂或發散，且在收斂時有相同的極限；數列收斂的充要條件是：數列{xn} 的任何非平凡子列都收斂。

單調有界數列必收斂

設函數

在點

的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數

（無論它多麼小），總存在正數

，使得當x滿足不等式

時，對應的函數值

都滿足不等式：

|f(x)-A|<ε，

則稱函數f當x趨於x₀時以A為極限，記作

lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)