閉映射

在數學的拓撲學中，閉映射是兩個拓撲空間之間的映射，使得任何閉集的像都是閉集。所以f:X→Y是閉映射，如果X中的閉集在f下的像都為Y的閉集。 ^[2] 

閉映射的定義中，並不要求映射連續。與之比較，映射f:X→Y為連續映射的定義，是所有Y的開集的原像為X的開集，也可等價地定義為所有Y的閉集的原像為X的閉集。雖然閉映射的定義，似較連續映射為自然，但在拓撲學中其重要性不及連續映射。

閉映射的概念是由赫維茨(Hurewicz, W.)於1926年，亞歷山德羅夫(Aoexcannpon, I1. C.)於1927年分別引人的。

（1）定義連續函數f:R→R為f(x)=x，則f是閉映射，但不是開映射。 ^[3] 

（2）任何同胚都是既開且閉及連續的。任何雙射的連續映射是同胚，當且僅當映射是開映射，或等價地，當且僅當映射是閉映射。

（3）X上的恆等映射是一個同胚，故為既開且閉的。但如果X是Y的子空間，則僅當X在Y中為閉集時，從X到Y的包含映射

是閉映射。故此映射的到達域需要指明，以辨別映射是否為閉映射。

（4）定義從[0,2π)到單位圓（視為R中的圓，原點為圓心）的函數：在[0,2π)中的θ所對應的值，是單位圓上與x軸成角度θ的點。這個函數是雙射連續的，所以其從單位圓到[0,2π)的逆函數是既開且閉的。這個逆函數將緊緻的單位圓，映射到不是緊緻的區間[0,2π)。因此可見閉映射不保持緊緻性，這點與連續映射不同。

（5）若Y有離散拓撲，則任何到Y中的映射都是既開且閉，但這映射未必連續。例如從實數集R到整數整Z的取整函數是既開且閉，但不是連續。

（6）對於任何拓撲空間的積X= ΠX_i，由積拓撲的定義，其投射p_i:X→X_i是開且連續的。不過這投射不一定是閉的：例如令p₁:R→R是從R到x軸上的投射，並設A是函數f(x)=1/x的圖像，即由全部形如(x,1/x)的點構成的集合。那麼A是R中的閉集，但p₁(A)不是x軸中的閉集。不過若Y為緊緻集，則投射X×Y→X是閉映射。

（1）一個映射f:X→Y是開映射當且僅當對X中每一點x及其任何（任意小的）鄰域U，都存在f(x)的鄰域V使得V⊂f(U)。因此若f將X的某個拓撲基中的元素都映射到Y的開集，則f是開映射。 ^[3] 

（2）閉映射的定義，可用內部算子和閉包算子表達如下：

設f:X→Y是映射，f是閉映射，當且僅當對任何A⊆X，有f(A) ⊆f(A)。

（3）兩個閉映射的複合是閉映射，

（4）兩個閉映射的積未必是閉映射。（例如取前述的投射p₁:R→R，視之為兩個映射f和g的積，其中f是x軸上的恆等函數，g是從y軸到只包含點0的集合{0}的函數。f和g為閉映射，但p₁不是。）

（5）一個雙射是開的當且僅當其為閉的。一個連續的雙射，其逆映射是雙射的既開且閉映射，反之亦然。

（6）一個滿射的開映射不一定是閉映射，同樣一個滿射的閉映射也不一定是開映射，

（7）設f是連續映射，且是開的或閉的，那麼

（8）f為開或閉映射的條件，對前兩項只是充分條件，對第三項也是必要條件。

有些條件能協助辨別映射是否開或閉。以下列出一些這一類的定理。 ^[2] 

閉映射引理指，從緊緻集X到豪斯多夫空間Y的連續映射f:X→Y都是閉且逆緊（緊緻集的原像都為緊緻）。這結果的一個變化指，局部緊緻豪斯多夫空間之間的一個連續映射若為逆緊，則這映射是閉映射。

泛函分析中的開映射定理指，巴拿赫空間之間的連續線性算子若是滿射，則為開映射。

複分析中的開映射定理指，在複平面的連通開子集上定義的非常數全純函數是開映射。

區域不變性定理指，兩個n維拓撲流形間的局部單射且連續的映射都是開映射。