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諾特定理
鎖定
諾特定理,是奇異積分方程的基本定理,為理論物理的中心結果之一,它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關,因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量(譬如位置和動量)。
數學中,諾特定理是奇異積分方程的基本定理。它並不限於柯西型核的奇異積分方程。
- 中文名
- 諾特定理
- 外文名
- Noether's theorem
- 提出者
- Emmy Noether
- 提出時間
- 1915發現 1918發佈
- 適用領域
- 經典力學
- 應用學科
- 物理
- 數學解釋
- 奇異積分方程的基本定理
諾特定理簡介
諾特定理是理論物理的中心結果之一,它表達了連續對稱性和守恆定律的一一對應。例如,物理定律不隨着時間而改變,這表示它們有關於時間的某種對稱性。如果我們想象一下,譬如重力的強度每天都有所改變,我們就會違反能量守恆定律,因為我們可以在重力弱的那天把重物舉起,然後在重力強的時候放下來,這樣就得到了比我們開始輸入的能量更多的能量。
諾特定理對於所有基於作用量原理的物理定律是成立。它得名於20世紀初的數學家埃米·諾特。諾特定理和量子力學深刻相關,因為它僅用經典力學的原理就可以認出和海森堡測不準原理相關的物理量(譬如位置和動量)。
[1]
諾特定理定理的數學表述
諾特定理是奇異積分方程的基本定理。它並不限於柯西型核的奇異積分方程。
定理1: 奇異積分方程Kφ=f可解的充分必要條件是成立關係式:
定理2: 齊次方程Kφ=0的線性無關解的個數k與相聯齊次方程K′ψ=0的線性無關解的個數k′之差只與K的特徵部分有關,它等於算子K的指標,即k-k′=κ。
第二類弗雷德霍姆積分方程的弗雷德霍姆定理是柯西核奇異積分方程中b(t)=0, 即諾特定理κ=0的特例。由此可見,對指標為零的奇異積分方程,弗雷德霍姆定理是成立的,這類方程稱為擬弗雷德霍姆方程,其相應的奇異積分算子稱為擬弗雷德霍姆算子。
諾特定理更學術化的解釋
上述命題中的“對稱性”一詞精確一點來説是指物理定律在滿足某種技術要求的一維李羣作用下所滿足的協變性。物理量的守恆定律通常用連續性方程表達。
應用
諾特定理的應用幫助物理學家在物理的任何一般理論中通過分析各種使得所涉及的定律的形式保持不變的變換而獲得深刻的洞察力。例如:
諾特定理證明
物理學中這樣的"M"的例子包括:
要得到通常版本的諾特定理,我們需要對作用量作額外的限制。我們假設S[φ]是M上的如下函數的積分
現在,假設我們有一個無窮小變換,定義在上,它由一個泛函求導Q生成,滿足
現在,對於每個N,因為歐拉-拉格朗日定理,在殼(只有在殼)
因為這對於所有N成立,我們有
但這無非就是對於如下的流的連續性方程
這被稱為和該對稱性相關的諾特流(Noether current)。該連續性方程説明如果對這個流在空間式切片上積分,就可以得到稱為諾特荷的守恆量(當然,必須假定M非緊緻時,該流趨向無窮遠處時下降足夠快)。
諾特定理相關再敍述
常見的例子有動量、能量、角動量守恆跟相應的時空均勻性的關係:
空間均勻性與動量守恆:空間是均勻的,也就是地球上的物理定律跟月球上的物理定律是一樣的,物理定律在空間平移(比如從地球移到月亮上)變換下是不變的,由諾特定理可以得到存在這麼一個守恆量,即動量。
空間各向同性與角動量守恆
[5]
:空間是各向同性的,也就是空間沒有一個特殊的方向,我們任意取座標軸的方向,雖然物理量的數值在各個座標系當中可能是不一樣的,但物理定律所對應的方程是不變的,比如牛頓運動定律F=ma(矢量形式)在空間旋轉變換下是不變的,我們把座標軸旋轉,雖然矢量的各個分量變了,但總的方程F=ma(矢量形式)是不變的,這樣,在牛頓力學當中,就存在着一個跟空間各向同性相對應的守恆量——角動量。
時間均勻性跟能量守恆:同樣,由時間均勻性,也就是過去、現在、未來物理定律是一樣的,由諾特定理可以得出存在這麼一個守恆量——能量。
一般諾特定理的證明都是在拉格朗日形式下來證明的,也就是假定我們所發現的力學體系的拉格朗日描述是正確的。
- 參考資料
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- 1. 何世本,胡嘉延. 變質量經典系統的哈密頓原理和諾特定理[J]. 阜新礦業學院學報,1985,(01):63-77. [2017-08-28].
- 2. 《數學辭海》委員會. 數學辭海.第6卷[M]. 山西教育出版社, 2002.
- 3. 馮承天. 力學框架下的Noether定理[J]. 上海師範大學學報(自然科學版),1996,(04):19-22. [2017-08-28].
- 4. 馮承天. 連續變換羣觀點下的Noether定理[J]. 上海師範大學學報(自然科學版),1997,(02):92-96. [2017-08-28].
- 5. 第二章 守恆律 .中國科學技術大學[引用日期2024-02-22]