弗雷德霍姆算子

弗雷德霍姆算子是可逆算子的推廣。

設T是巴拿赫空間E上的有界線性算子，如果T的像是閉的，且T的核與餘核均為有限維，則稱T是弗雷德霍姆算子。弗雷德霍姆算子的集合記為𝓕(E)。 ^[3] 

設E為巴拿赫空間，𝓑(E)為E上有界算子集合，𝓚(E)為E上緊算子集合，𝓑(E)/𝓚(E)為E上卡爾金代數，π:𝓑(E)→𝓑(E)/𝓚(E)為商映射，若π(T)為𝓑(E)/𝓚(E)的可逆元。則T為弗雷德霍姆算子。 ^[2] 

由阿特金森定理可知，當T是弗雷德霍姆算子時，對E上的任何緊算子K，T+K也是弗雷德霍姆算子。

如果算子T的像是閉的，而dim(kerT)和dim(kerT*)中至少有一個有限，則稱T為半弗雷德霍姆算子。對於巴拿赫空間上的線性算子也有類似概念。 ^[1] 

巴拿赫空間E的有界算子T的本質譜σ_e(T)為π(T)的譜。σ_e(T)為σ(T)的緊子集。 ^[3] 

T的指標為i(T)=dim(kerT)-dim(kerT*)=dim(kerT)-dim(cokerT)。

設H為有限維可分希爾伯特空間，𝓕(H)為𝓑(H)的開子集，且指數映射i:𝓕(H)→ℤ誘導出從𝓕(H)的連通分支到ℤ的一一對應。 ^[5] 

對緊豪斯多夫空間X，有典範阿貝爾羣同構

K⁰(X)≅[X,𝓕(H)

即𝓕(H)為分類空間。 ^[5] 

可逆算子一定是弗雷德霍姆算子。

𝓕(E)為𝓑(E)的開子集，在算子乘法下是閉的，且為自伴的。 ^[2] 

有界算子T∈𝓕(E)，當且僅當存在有界算子S，滿足1-ST與1-TS均為緊算子。 ^[3] 

若E為有限維巴拿赫空間，則E上有界算子為弗雷德霍姆算子。 ^[4] 

有界線性算子是泛函分析中一種重要的算子。

設是從線性賦範空間到的線性算子。 如果當存在且有限，則稱是有界線性算子，也就是説將中的每個有界集映射為中的有界集。此處|表示範數，表示中定義的範數，表示中定義的範數。