泛函導數

在變分法中，泛函通常表示成函數、函數導數以及自變量的積分。例如考慮泛函

如果函數

加上一個任意小的變化

，把被積函數

展開成

的冪級數

則泛函的值的變化

一階項

的係數

就稱為泛函

關於函數

在點

處的泛函導數，記做

。

設有流形M代表（連續/光滑/有某些邊界條件等的）函數 φ 以及泛函

： ^[1] 

則

的泛函導數，記做

，是一個滿足以下條件的分佈：

對任何測量函數

稱為

的變分。

是線性泛函，由里斯-馬爾可夫-角谷表示定理，這個泛函可表示成對某個測度的積分。

就定義為這個測度的拉東-尼科迪姆導數。

把函數

看作

在

處的梯度，

看作在

處沿方向

的方向導數，則類似於向量微積分，梯度與某個方向向量的內積就給出了這個方向的方向導數。

泛函

的微分就是

用一個啓發性的觀點來看，

是

的改變，形式上有

，則上式就和多元函數

的全微分相似

比較這兩個等式，泛函導數

扮演着類似於偏微分

的角色，積分變量

就像是連續版本的求和指標

。

通過更具體地定義函數空間，泛函導數的定義可以在數學上更準確、正式。例如，當函數空間是巴拿赫空間時, 泛函導數就是著名的弗雷歇導數, 而在更一般的局部凸空間上就是加託導數。注意，希爾伯特空間是巴拿赫空間的特例。更正式的處理使我們能夠將普通微積分和數學分析中的許多定理推廣為泛函分析中對應的定理，此外還能得到大量的新定理。 ^[2] 

與函數的導數類似，泛函導數滿足下列的性質（其中

和

都是泛函）：

其中

皆為常數。

若F和G為兩個泛函，則

若當中的G為一個普通的可導函數g，則上式化為

有一類常見的泛函，能表示成一個函數及其導數的積分的形式。對於這類泛函，可以給出一個計算泛函導數的公式。

對於泛函

以及在積分區域的邊界上取0的函數

，由之前的定義

因為

是任意的函數，由變分法基本引理，得泛函導數為

以上泛函導數公式可以推廣到包含高階導數的情況

其中

是張量算子，分量為

則相應的泛函導數為

被積函數不含

的導數，所以泛函導數

庫侖勢能泛函

連續隨機變量的熵是其概率密度函數的泛函

這個公式在量子場論中，從配分函數來計算相關函數時特別有用。

函數可以像泛函那樣寫成一個積分的形式

從而可以把

看作關於

的泛函。因為這個積分不依賴於

的導數，故泛函導數

迭代函數的泛函導數

迭代函數

的泛函導數

一般情況

令上式的

可以解出反函數的泛函導數

在物理學中，常用狄拉克δ函數

，而不是一般的測試函數，來得到在點

處的泛函導數（這是整個泛函導數上的一點，就像偏導數是梯度的一個分量）

這在

可以“在形式上”展開成

的級數時是有效的。然而這個公式在數學上是不嚴密的，甚至連

通常都是沒有嚴格定義的。

上面給出的定義是基於一種對所有測量函數f都成立的關係，因此有人可能會想，它在f是一個指定的函數（比如説狄拉克δ函數）時也應該成立。但是，δ函數不是一個合理的測量函數（甚至都不是一個真正的函數）。

在定義中，泛函導數描述了整個函數

發生微小變化時，泛函

如何變化。其中，

的變化量的具體形式沒有指明，但應該在整個定義區間上都有變化。使用δ函數形式的擾動表明函數只在點

處變化，其他的點都沒有變化。