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變分法基本引理

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在數學裏，特別是在變分法裏，變分法基本引理（fundamental lemma of calculus of variations）是一種專門用來變換問題表述的引理，可以將問題從弱版表述（weak formulation）（變分形式）改變為強版表述（微分形式）。 [1-2] 
中文名
變分法基本引理
外文名
fundamental lemma of calculus of variations
分    類
拉格朗日力學、變分法
領    域
數理科學

目錄

  1. 1 敍述
  2. 2 證明
  3. 3 應用

變分法基本引理敍述

代表
階導數連續（
階光滑）的函數空間，
代表無限光滑的函數空間。
變分法基本引理：
設
若任意
皆滿足下列兩式
則
.

變分法基本引理證明

設
且
因為只要存在一個不滿足
的
，就可以證明
，因此我們只須證明其中一個特例。
令
滿足下列兩個條件：
並且令
.
由
可得到
因為
在
是正值，所以
必須恆等於 0 ，與假設
矛盾。
故
。

變分法基本引理應用

這引理可用來證明泛函
的極值是歐拉-拉格朗日方程式
的弱解。
歐拉-拉格朗日方程式在經典力學和微分幾何佔有重要的角色。 [2] 
參考資料
  • 1.    Barnett S. The calculus of variations and optimal control: An introduction[J]. Acta Applicandae Mathematica, 1983, 1(1):97-98.
  • 2.    Surhone L M, Tennoe M T, Henssonow S F, et al. Fundamental Lemma of Calculus of Variations[M]. Betascript Publishing, 2010.