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狄拉克δ函數
鎖定
狄拉克δ函數是一個廣義函數,在物理學中常用其表示質點、點電荷等理想模型的密度分佈,該函數在除了零以外的點取值都等於零,而其在整個定義域上的積分等於1。
狄拉克δ函數在概念上,它是這麼一個“函數”:在除了零以外的點函數值都等於零,而其在整個定義域上的積分等於1。
- 中文名
- 狄拉克δ函數
- 外文名
- Dirac delta function
- 概 念
- 描述點分佈密度的廣義函數
- 領 域
- 物理學
- 應用學科
- 數學
- 性 質
- 除了零以外的點取值都等於零
狄拉克δ函數定義
物理學中常常要研究一個物理量在空間或時間中分佈的密度,例如質量密度、電荷密度、每單位時間傳遞的動量(即力)等等,但是物理學中又常用到質點、點電荷、瞬時力等抽象模型,他們不是連續分佈於空間或時間中,而是集中在空間中的某一點或者時間中的某一瞬時,那麼它們的密度應該如何表示呢?
狄拉克δ函數一種定義
上述表達式不規定δ函數在0點的取值,是因為這個值無法嚴謹地表述出來,不能籠統的定義為正無窮,並且函數取值的“大小”是由第二個積分式決定的,因此只需限定取值為零的區域即可
[2]
。如果函數不在0點取非零值,而在其他地方,可定義
狄拉克δ函數另一種定義
狄拉克δ函數理解
嚴格來説δ函數不能算是一個函數,因為滿足以上條件的函數是不存在的。數學上,人們為這類函數引入了廣義函數的概念,在廣義函數的理論中,δ函數的確切意義應該是在積分意義下來理解。在實際應用中,δ函數總是伴隨着積分一起出現
[3]
。δ分佈在偏微分方程、數學物理方法、傅立葉分析和概率論裏都有很重要的應用。
[4]
狄拉克δ函數性質
狄拉克δ函數對稱性
狄拉克δ函數放縮
放縮(或相似性)
狄拉克δ函數挑選性
這種性質稱為挑選性,它將
在
點的值
挑選出來
上述性質則可看成適用於高階導數的挑選性。
狄拉克δ函數方程的解
狄拉克δ函數與x乘積
以及
這個性質説明δ函數與x的乘積在積分中與0的作用是相同的。
狄拉克δ函數分母為零
研究函數
的微分,一般的公式是
為了使導函數在
附近是有明確定義(非正常函數的意義)的,通常會對它加上一個附加條件,即它從
到
的積分為0,而上式中
從
到
的積分為零,
從
到
的積分卻是-iπ,因此上式就不是一個正確的等式了,為了改正它,需要增加一個修正項,我們注意到
在
的負值處有一個虛數項
,這個項在0附近有一個突變,對它微分會產生一個
函數,那麼等式變成
[3]
狄拉克δ函數傅里葉變換
δ函數的傅里葉變換是,
可見,δ函數與常數1是一對傅立葉變換的共軛函數。
δ函數的傅里葉逆變換是:
狄拉克δ函數多維δ函數
狄拉克δ函數定義
狄拉克δ函數性質
狄拉克δ函數位矢的微分
狄拉克δ函數應用
狄拉克δ函數靜電場
狄拉克δ函數結構力學
其中m是質量,ξ是撓度,而k是彈簧常數。
狄拉克δ函數δ測度
狄拉克δ函數測度論中
在測度論中,與δ函數相應的有δ測度,其定義如下
設X是一個非空集,任意選取元素
,對任意集合
,定義
其中
為集合A的特徵函數,定義為
狄拉克δ函數構造
狄拉克δ函數計數測度
- 參考資料
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- 1. 梁昆淼.數學物理方法(第四版).北京:高等教育出版社,2010.1:82-89
- 2. 徐玲玲,趙永芳,井孝功.狄拉克δ函數[J],大學物理,2010,29(8),16-17
- 3. 狄拉克(Dirac),量子力學原理(第四版)
- 4. Dexin Lu(盧德馨).University Physics.北京:高等教育出版社,2003.4
- 5. 尹真.電動力學(第三版).北京:科學出版社,2010:258-259
- 6. 郭懋正.實變函數與泛函分析.北京:北京大學出版社,2005.2:58-59
- 7. (美)傑克遜(J.D.Jackson)著;朱培豫譯.經典電動力學[M].北京:人民教育出版社,1978.06:56.