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散度定理
鎖定
- 中文名
- 散度定理
- 外文名
- divergence theorem
- 別 名
- 高斯散度定理;高斯定理
- 提出者
- 高斯
- 適用領域
- 向量場
- 應用學科
- 物理學
散度定理概念
散度定理是指在向量分析中,一個把向量場通過曲面的流動(即通量)與曲面內部的向量場的表現聯繫起來的定理。更加精確地説,散度定理説明向量場穿過曲面的通量,等於散度在曲面圍起來的體積上的積分。直觀地,所有源點的和減去所有匯點的和,就是流出這區域的淨流量。
高斯公式在工程數學中是一個很重要的結果,特別是靜電學和流體力學。
這個定理是更一般的斯托克斯公式的特殊情形。
散度定理定理
設空間閉區域Ω是由分片光滑的閉曲面Σ所圍起來的三維區域,函數P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在Ω上具有一階連續偏導數,則有
或
這裏Σ是Ω的邊界(boundary),cos α、cos β、cos γ是Σ在點(x,y,z)處的單位法向量的方向餘弦。
散度定理表示方法
散度定理用散度表示
高斯公式用散度表示為:
散度定理用向量表示
令V代表有一簡單閉曲面S為邊界的體積,
是定義在V中和S上連續可微的向量場。如果
是外法向向量面元,則
散度定理推論
- 對於標量函數g和向量場F的積,應用高斯公式可得:
- 對於兩個向量場{\displaystyle \mathbf {F} \times \mathbf {G} }的向量積,應用高斯公式可得:
- 對於標量函數f和非零常向量的積,應用高斯公式可得:
- 對於向量場F和非零常向量的向量積,應用高斯公式可得:
散度定理例子
直接計算這個積分是相當困難的,但我們可以用高斯公式來把它簡化:
其中W是單位球:
由於函數y和z是奇函數,我們有:
因此:
因為單位球W的體積是4π3.
説明:例子所對應的向量場。注意,向量可能指向球面的內側或者外側。
散度定理二階張量的散度定理
二階張量的高斯公式實際上是上面的高斯公式的推論。為了使內容完整,首先簡要地介紹三維歐幾里得空間上的二階張量(詳見並矢張量或張量積)以及相關的概念和記號
[2]
。在這裏,向量和向量場用黑斜體字母表示,張量用正黑體字母表示。
1)兩個向量a和b並排放在一起所形成的量ab被稱為向量a和b的並矢或並矢張量。注意,一般來説
.
2)ab=0的充分必要條件是a=0或b=0。
3)二階張量就是有限個並矢的線性組合。
4)ab分別線性地依賴於a和b。
5)二階張量T和向量a的縮並T*a以及a*T對, T和a都是線性的。
6)特別是,當T=uv時,
所以,一般來説,
。
定理: