裴蜀定理

裴蜀定理（或貝祖定理）得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，説明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性不定方程（稱為裴蜀等式）：若a,b是整數,且gcd(a,b)=d，那麼對於任意的整數x,y,ax+by都一定是d的倍數，特別地，一定存在整數x,y，使ax+by=d成立。

它的一個重要推論是：a,b互質的充分必要條件是存在整數x,y使ax+by=1.

證法一：

設

則

。由整除的性質，

，有d|(ax+by)。

設s為ax+by最小正值，令

，則,

。

可見

也為

的線性組合。

由於

為

所得,所以

。

由於

為

線性組合的最小正值,可知

。

因此有

,同理

，因此，s是a與b的公約數，所以d

s......①。

因為d|a，d|b，且s是a與b的一個線性組合，所以由整除性質知d|s。

但由於d|s和s

0，因此d

s......②。

由①②得d=s，命題得證

證法二：

⑴若b=0，則(a,b)=a.這時定理顯然成立。

⑵若a,b不等於0.

記d = (a, b), 對ax + by = d，兩邊同時除以d，可得(a1)x + (b1)y = 1，其中(a1,b1) = 1。

轉證(a1)x + (b1)y = 1。由帶餘除法：

① (a1) = (q1)(b1) + (r1), 其中0＜r1＜ b1

② (b1) = (q2)(r1) + (r2), 其中0＜r2＜r1

③ (r1) = (q3)(r2) + (r3), 其中0＜r3＜r2

.....

④ (rn-4) = (qn-2)(rn-3) + (rn-2)

⑤ (rn-3) = (qn-1)(rn-2) + (rn-1)

⑥ (rn-2) = (qn)(rn-1) + (rn)

⑦ (rn-1) = (qn+1)(rn) + 1

故，由⑦和⑥推出(rn-2)An-2 + (rn-1)Bn-1 = 1

再結合⑤推出(rn-3)An-3 + (rn-2)Bn-2 = 1

再結合④推出(rn-4)An-4 + (rn-3)Bn-3 = 1

.....

再結合③推出(r1)A1 + (r2)B2 = 1

再結合②推出(b1)A0 + (r1)B0 = 1

再結合①推出(a1)x + (b1)y = 1

得證。

不定方程 例題：求不定方程

的整數解.

解：

是方程的一組整數解.

∴

設a1,a2,a3......an為n個整數，d是它們的最大公約數，那麼存在整數x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=d。

特別來説，如果a1...an存在任意兩個數是互質的（不必滿足兩兩互質），那麼存在整數x1......xn使得x1*a1+x2*a2+...xn*an=1。證法類似兩個數的情況。

裴蜀可以推廣到任意的主理想環上。設環A是主理想環，a和b 為環中元素，d是它們的一個最大公約元，那麼存在環中元素x和y使得：

ax + by = d

這是因為在主理想環中，a和b的最大公約元被定義為理想aA + bA的生成元。

在數論中，裴蜀定理是一個關於最大公約數（或最大公約式）的定理。裴蜀定理得名於法國數學家艾蒂安·裴蜀，説明了對任何整數a、b和它們的最大公約數d，關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

ax + by = m

有解當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個整數解，每組解x、y都稱為裴蜀數，可用輾轉相除法求得。

例如，12和42的最大公因子是6，則方程12x + 42y = 6有解。事實上有（-3）×12 + 1×42 = 6及4×12 + (-1) × 42 = 6。

特別來説，方程 ax + by = 1 有解當且僅當整數a和b互素。

裴蜀等式也可以用來給最大公約數定義：d其實就是最小的可以寫成ax + by形式的正整數。這個定義的本質是整環中“理想”的概念。因此對於多項式整環也有相應的裴蜀定理。

歷史上首先證明關於整數的裴蜀定理的並不是裴蜀，而是17世紀初的法國數學家克勞德-加斯帕·巴歇·德·梅齊里亞克。他在於1624年發表的著作《有關整數的令人快樂與愜意的問題集》第二版中給出了問題的描述和證明[1]。

然而，裴蜀推廣了梅齊里亞克的結論，特別是探討了多項式中的裴蜀等式，並給出了相應的定理和證明[2]。

對任意兩個整數a、b設d是它們的最大公約數。那麼關於未知數x和y的線性丟番圖方程（稱為裴蜀等式）：

ax + by = m

有整數解（x,y）當且僅當m是d的倍數。裴蜀等式有解時必然有無窮多個解。

理想 （環論）

^ 原版的網上版本（法文）

^ 證明的網上版本（法文）

閔嗣鶴、嚴士健，初等數論，高等教育出版社，2003。

唐忠明，抽象代數基礎，高等教育出版社，2006。 ^[1] 

Algebraic curves ，2008版，Chapter5.3。 ^[1] 

以上定理可推廣到n個，n≥2

如1st IMO 1959第1題：證明對任意自然數n，（21n+4）/（14n+3）為既約分數。證明：很容易看出3（14n+3）-2（21n+4）=1，由裴蜀定理，21n+4與14n+3互質，故（21n+4）/（14n+3）為既約分數。Q.E.D.

另如：5x+4y+3z可表示全部整數.因為3，4，5互質，所以5x+4y+3z可以等於1，則必定可以等於其他任意整數。