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歐幾里德引理
鎖定
- 中文名
- 歐幾里德引理
- 表達式
- 如果a|bc ,gcd(a,b)=1 那麼 a|c
歐幾里德引理歐幾里得引理
這個引理説明:
如果一個正整數整除另外兩個正整數的乘積,第一個整數與第二個整數互質,那麼第一個整數整除第三個整數。
可以這樣表達這個引理:
如果a|bc ,gcd(a,b)=1 那麼 a|c。
命題30是這樣説的:
如果一個素數整除兩個正整數的乘積,那麼這個素數可以至少整除這兩個正整數中的一個。
如果 p|bc 那麼 p|b 或者 p|c。
歐幾里德引理命題30的證明
設p|ab,但p不是a的因子。於是,可設rp=ab,其中r|ab。由於p是質數,且不是a的因子,gcd(a,p)=1。這就是説,可以找到兩個整數x和y,使得1=px+ay(裴蜀定理)。兩邊乘以b,可得:
b=b(px+ay)
b=bpx+bay
前面已經説了:rp=ab,因此:
b=bpx+rpy
b=p(bx+ry)
所以,p|b。這就是説,p要麼整除a,要麼整除b,要麼都能整除。證畢。