公約數

公約數，亦稱“公因數”。它是一個能同時整除幾個整數的數 ^[1]  。如果一個整數同時是幾個整數的約數，稱這個整數為它們的“公約數”；公約數中最大的稱為最大公約數。對任意的若干個正整數，1總是它們的公因數。

公約數與公倍數相反，就是既是A的約數同時也是B的約數的數，12和15的公約數有1，3，最大公約數就是3。再舉個例子，30和40，它們的公約數有1，2，5，10，最大公約數是10。

求兩個數最大公約數的方法：

若較大數是較小數的倍數，那麼較小數就是這兩個數的最大公約數。

若這兩個數是互質數，那麼它們的最大公約數就是1。

如果數a能被數b整除，a就叫做b的倍數，b就叫做a的約數。約數和倍數都表示一個整數與另一個整數的關係，不能單獨存在。如只能説16是某數的倍數，2是某數的約數，而不能孤立地説16是倍數，2是約數。

"倍"與"倍數"是不同的兩個概念，"倍"是指兩個數相除的商，它可以是整數、小數或者分數。"倍數"只是在數的整除的範圍內，相對於"約數"而言的一個數字的概念，表示的是能被某一個自然數整除的數。

幾個整數，公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大公約數。例如：12、16的公約數有1、2、4，其中最大的一個是4，4是12與16的最大公約數，一般記為（12，16）=4。12、15、18的最大公約數是3，記為（12，15，18）=3。

幾個自然數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數，其中最小的一個自然數，叫做這幾個數的最小公倍數。例如：4的倍數有4、8、12、16，……，6的倍數有6、12、18、24，……，4和6的公倍數有12、24，……，其中最小的是12，一般記為[4，6]=12。12、15、18的最小公倍數是180。記為[12，15，18]=180。若干個互質數的最小公倍數為它們的乘積的絕對值。

把幾個數先分別分解質因數，再把各數中的全部公有的質因數和獨有的質因數提取出來連乘，所得的積就是這幾個數的最小公倍數。

例如：求6和15的最小公倍數。先分解質因數，得6=2×3，15=3×5，6和15的全部公有的質因數是3，6獨有質因數是2，15獨有的質因數是5，2×3×5=30，30裏面包含6的全部質因數2和3，還包含了15的全部質因數3和5，且30是6和15的公倍數中最小的一個，所以[6，15]=30。

短除法：短除法求最大公約數，先用這幾個數的公約數連續去除，一直除到所有的商互質為止，然後把所有的除數連乘起來，所得的積就是這幾個數的最大公約數。短除法的本質就是質因數分解法，只是將質因數分解用短除符號來進行。

短除符號就是除號倒過來。短除就是在除法中寫除數的地方寫兩個數共有的質因數，然後落下兩個數被公有質因數整除的商，之後再除，以此類推，直到結果互質為止（兩個數互質）。

而在用短除計算多個數時，對其中任意兩個數存在的因數都要算出，其它沒有這個因數的數則原樣落下。直到剩下每兩個都是互質關係。求最大公因數便乘一邊，求最小公倍數便乘一圈。無論是短除法，還是分解質因數法，在質因數較大時，都會覺得困難。這時就需要用新的方法。

輾轉相除法：輾轉相除法是求兩個自然數的最大公約數的一種方法，也叫歐幾里德算法。

這就是輾轉相除法的原理。

例如，求（319，377）：

∵ 319÷377=0（餘319）

∴（319，377）=（377，319）；

∵ 377÷319=1（餘58）

∴（377，319）=（319，58）；

∵ 319÷58=5（餘29）

∴ （319，58）=（58，29）；

∵ 58÷29=2（餘0）

∴ （58，29）= 29；

∴ （319，377）=29。

可以寫成右邊的格式。

用輾轉相除法求幾個數的最大公約數，可以先求出其中任意兩個數的最大公約數，再求這個最大公約數與第三個數的最大公約數，依次求下去，直到最後一個數為止。最後所得的那個最大公約數，就是所有這些數的最大公約數 ^[2]  。

這種方法是求兩個數的最大公約數的基本方法，即先列舉出兩個數的所有約數，從中找到最大的—個數，這 個數就是這兩個數的最大公約數。 ^[3] 

就是用較大數減去較小數，如果所得的差是較小數的約數，則差就是這兩個數的最大公約 數。否則，再用減數減去差，直到所得的差是減數的約數為止。 ^[3]