歐幾里得整環

一個歐幾里得整環是一個整環R及，且存在函數

使之滿足下述性質 ^[3]  ：

（1）若

而

，則存在q,r∈R，使得 a=qb+r，而且或者r=0，或者r≠0且φ(r)<φ(b)。

（2）若

而

，則φ(a)≤φ(ab)。

函數φ可設想成元素大小的量度。

利用輾轉相除法（定義中的第一條性質），可以證明歐幾里得環必為主理想環，此時理想由其中 φ-值最小的元生成。由此得到一個推論：歐幾里得整環必為唯一因子分解整環。

並非所有主理想整環都是歐幾里得整環，Motzkin 證明了

的整數環在 d=-19,-43,-67,-163 時並非歐幾里得整環，卻仍是主理想整環。 ^[1-2] 

歐幾理得整環的例子包括了：

當R為整數環

時，可取φ(x):=|x| 。

當R為域

時，可取φ(x):=1。

高斯整數環

。

域上的多項式環（

）與冪級數環（φ(f) 定義為使

的最大非負整數 n）。

離散賦值環， φ(x)定義為使

的最大非負整數n，其中

表該離散賦值環的唯一極大理想。

在數學中，更具體地説在抽象代數和環論中，歐幾里德域（也稱為歐幾里得環）是一個可以賦予歐幾里德函數（下面解釋的）的交換環，其允許整數的歐幾里德分割的適當泛化。這種廣義歐幾里德算法可以與歐幾里德原始算法在整數環中保持許多相同的用途：在任何歐幾里德域中，可以應用歐幾里德算法來計算任意兩個元素的最大公約數。特別地，任何兩個元素的最大公約數存在並且可以被寫成它們的線性組合（Bézout的身份）。歐幾里得整環中的每個理想也都是主體，這意味着算術的基本定理的適用泛化：每個歐幾里德整環都是唯一因子分解整環。

將歐幾里德整環的類別與較大類的主理想整環（PID）進行比較是很重要的。任意的PID具有與歐幾里得整環（或甚至整數環）大致相同的“結構性質”，但是當已知歐幾里德分割的顯式算法時，可以使用歐氏距離算法和擴展歐幾里德算法來計算最大的公約數和Bézout的身份。特別地，在計算機代數中存在用於歐幾里德整數除法和一個變量中的多項式的有效算法在計算機代數中的基本重要性。

因此，給定一個整數域R，知道R具有歐幾里德函數通常是非常有用的：特別是這意味着R是一個PID。然而，如果沒有“明顯的”歐幾里德函數，則確定R是否是PID，通常比確定它是否是歐幾里得整環容易得多。