正則測度

正則測度(regular measure)是一種比較規則的測度。

設Ω是拓撲空間，B(Ω)是Ω上的博雷爾σ代數，μ是Ω上的博雷爾測度。 ^[5] 

如果對B(Ω)中每個博雷爾集E，

有： ^[1] 

則稱μ為外正則測度；

如果對Ω中每個開集U， ^[6] 

有：

則稱μ為內正則測度；

既外正則又內正則的測度稱為正則測度。 ^[4] 

在拓撲學和相關的數學分支中，豪斯多夫空間、分離空間或T2 空間是其中的點都“由鄰域分離”的拓撲空間。在眾多可施加在拓撲空間上的分離公理中，“豪斯多夫條件”是最常使用和討論的。它藴涵了序列、網和濾子的極限的唯一性。豪斯多夫得名於拓撲學的創立者之一費利克斯·豪斯多夫。豪斯多夫最初的拓撲空間定義把豪斯多夫條件包括為公理。

假設 X 是拓撲空間。設 x 和 y 是 X 中的點。我們稱 x 和 y 可以“由鄰域分離”，如果存在 x 的鄰域 U 和 y 的鄰域 V 使得 U 和 V 是不相交的 (U ∩ V = ∅)。X 是豪斯多夫空間如果任何兩個X 的獨特的點可以由鄰域分離。這時的豪斯多夫空間也叫做 T2 空間和分離空間的原因。 ^[2] 

X 是預正則空間，如果任何兩個拓撲可區分的點可以由鄰域分離。預正則空間也叫做 R1 空間。

在這些條件之間的聯繫如下。拓撲空間是豪斯多夫空間，當且僅當它是預正則空間和柯爾莫果洛夫空間的二者(就是説獨特的點是拓撲可區分的)。拓撲空間是預正則空間，當且僅當它的柯爾莫果洛夫商空間是豪斯多夫空間。

在數學分析所遇到的幾乎所有空間都是豪斯多夫空間；最重要的實數是豪斯多夫空間。更一般的説，所有度量空間都是豪斯多夫空間。事實上，在分析中用到的很多空間，比如拓撲羣和拓撲流形在其定義中明確的聲明瞭豪斯多夫條件。

最簡單的是 T1 空間而非 T2 空間的拓撲的例子是餘有限空間。

偽度量空間典型的不是豪斯多夫空間，但是它們是預正則的，並且它們在分析中通常只用於構造豪斯多夫gauge空間。實際上，在分析家處理非豪斯多夫空間的時候，它至少要是預正則的，他們簡單的把它替代為是豪斯多夫空間的它的柯爾莫果洛夫商空間。

相反的，在抽象代數和代數幾何更經常見到非預正則空間，特別是作為在代數簇或交換環譜上的Zariski拓撲。他們還出現在直覺邏輯的模型論中: 所有完全 Heyting代數都是某個拓撲空間的開集的代數，但是這個空間不需要是預正則的，更少見豪斯多夫空間。

博雷爾集類是深入討論函數的連續性、可微性、可積性時必不可少的重要集類。由R中半開區間組成的半環所生成的σ代數，稱為R上的博雷爾集類。也可定義為R中的閉集(開集)全體生成的σ代數。它是由博雷爾於1898年引入的，故以此而命名。這種集類在測度論、概率論、遍歷理論等數學分支中均有廣泛應用。在一般拓撲空間中可類似地引入博雷爾集。

測度，是數學術語，釋義是構造一個集函數，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數m(E)。我們將此集函數稱為E的測度。測度有計數測度、勒貝格測度、哈爾測度、概率測度等。構造一個集函數，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數m(E)。我們將此集函數稱為E的測度。

定義1：構造一個集函數，它能賦予實數集簇М中的每一個集合E一個非負擴充實數mE。我們將此集函數稱為E的測度。

定義2：設Γ是集合X上一σ代數，ρ ：Γ →R∪{ +∽ }是一集合函數，且ρ滿足：

（1）（非負性）對任意的A∈Γ，有ρ(A)≧0;

（2）（規範性）ρ(Φ) = 0；

（3）（完全可加性） 對任意的一列兩兩不交集合A1，A2，……，An，……有ρ(∪n An)=∑n ρ（An）

則稱ρ是定義在X上的一個測度，Γ中的集合是可測集，不在Γ中的集合是不可測集。特別的，若ρ(X) = 1 ，則稱ρ為概率測度。

勒貝格測度是賦予歐幾里得空間的子集一個長度、面積、或者體積的標準方法。它廣泛應用於實分析，特別是用於定義勒貝格積分。可以賦予一個體積的集合被稱為勒貝格可測；勒貝格可測集A的體積或者説測度記作λ(A)。一個值為∞的勒貝格測度是可能的，但是即使如此，在假設選擇公理成立時，R的所有子集也不都是勒貝格可測的。不可測集的“奇特”行為導致了巴拿赫-塔斯基悖論這樣的命題，它是選擇公理的一個結果。

R上的勒貝格測度有如下的性質：

如果A表示的是區間I1 ×I2 × ... ×In的笛卡爾積，那麼A是勒貝格可測的，並且 其中 |I| 表示區間I的長度。 如果A是有限個或可數個兩兩互不相交的勒貝格可測集的並，那麼A也是勒貝格可測的，並且λ(A) 就是這些可測集的測度的和（或無窮級數的和）。 如果A勒貝格可測的，那麼它的補集（相對於R）也是可測的。 對於每個勒貝格可測集A，λ(A) ≥ 0 。 如果A與B是勒貝格可測的，且A是B的子集，那麼λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得。) 可數多個是勒貝格可測集的交或者並仍然是勒貝格可測的。 (由2，3 可得)。 如果A是一個開集或閉集，且是R(甚至Borel集，見度量空間，待補)的子集，那麼A是勒貝格可測的。 如果A是一個勒貝格可測集，並有 λ(A) = 0 ，則A的任何一個子集B的勒貝格測度λ(B)=0。 如果A是勒貝格可測的，x是R中的一個元素，A關於x的平移（定義為A+x= {a+x:a∈A}）也是勒貝格可測的，並且測度等於A. 如果A是勒貝格可測的，δ > 0，則A關於δ的擴張（定義為）也是勒貝格可測的，其測度為。 更廣泛地説，設T是一個線性變換，A是一個R的勒貝格可測子集，則T(A)也是勒貝格可測的，其測度為。 如果A是R的勒貝格可測子集，f是一個A到R上的連續單射函數，則f(A)也是勒貝格可測的。

簡要地説，R的勒貝格可測子集組成一個含所有區間及其笛卡爾積的σ代數，且λ是其上唯一的完備的、平移不變的、滿足的測度。 ^[3] 

勒貝格測度是σ有限測度。