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李導數
鎖定
- 中文名
- 李導數
- 外文名
- Lie derivative
- 所屬學科
- 李羣
- 人 物
- 索甫斯·李
李導數定義
李導數向量的李導數
(𝓛XY)p=limt→0(Φ-t*YΦt(p)-Yp)/t。
李導數微分形式的李導數
設ω為光滑流形M上的微分k形式,X為有流Φt的向量場,則ω對X的李導數定義為
李導數性質
𝓛Xf=Xf,f∈A0(M);
𝓛X(ω1⋀...⋀ωk)=∑iω1⋀...⋀𝓛Xωi⋀...⋀ωk,ωi為1形式。
在A(M)上有𝓛X∘d=d∘𝓛X。
定義X的內乘法i(X):Ak(M)→Ak-1(M)為
(i(X)ω)(X1,...,Xk):=ω(X,X1,...,Xk),ω∈Ak(M),Xi∈𝖃M。
李導數簡介
李導數等價定義
然後定義向量場Y的李導數等於X和Y的李導數,也就是,𝓛XY=[X,Y]。
根據上面任選的一個定義,其他的定義可被證明為其等價形式。 例如,可以證明,對於一個可微函數f,
並且
我們用在1-形式
上的李導數的定義來結叢本節:
.
李導數其他性質
類似的,它是
上的一個導數,其中
是M上的向量場的集合:
也可寫為等價形式
其中張量積符號⨂用於強調函數和向量場的積在整個流形上取。另外的性質和李括號的一致。所以,例如,作為向量場的導數,
李導數和外導數的關係、微分形式的李導數
李導數和外導數密切相關,因此和埃裏·嘉當的微分流形理論相關。 兩個都試圖給出導數的思想,其差別幾乎只是記號上的。這個區別可以通過引入反導數或等效的內積來消除。 這之後,兩者的關係就體現在一組恆等式上。
令M為一個流形,X為M上一個向量場。令
為一k+1-形式。X和ω的內積為
注意,
是
-反導數。也就是,是R-線性的,並且
。
對於
和另一個微分形式η成立。另外,對於一個函數
,那是一個實或復值 的M上的函數,有
外導數和李導數的關係可以總結為以下這些。對於一般函數f,李導數就是外導數和向量場的內積:
當ω為1-形式,上述恆等式經常寫作
導數的乘積是可分配的
李導數張量場的李導數
在微分幾何中,如果我們有一個
階可微張量場(我們可以把它當作餘切叢
的光滑截面
和切叢
的截面
的線性映射
),使得對於任何函數
有
而且如果進一步有一個可微向量場(也就是切叢的一個光滑截面)
,則線性映射
獨立於聯絡∇;只要它是無撓率的,事實上,這個映射是一個張量。這個張量稱為
關於
的李導數。
換句話説,如果你有一個張量場
和一個由向量場
給出的微分同胚的無窮小生成元,則
就是
在這個無窮小微分同胚下的無窮小變化。