支撐集

設f為拓撲空間X上的復值函數，{x∈X:f(x)≠0}的閉包稱為f的支撐集，記為supp f。 ^[3] 

特別地，在概率論中，一個概率分佈的支撐集是隨機變量的所有可能值組成的集合的閉包。

一個函數被稱為是緊支撐於空間X的，如果這個函數的支撐集是X中的一個緊集。例如，若 X是實數軸，那麼所有在無窮遠處消失的函數都是緊支撐的。事實上，這是函數必須在有界集外為0的一個特例。在好的情形下，緊支撐的函數所構成的集合，在所有在無窮遠處消失的函數構成的集合中，是稠密集的，當然在給定的具體問題中，這一點可能需要相當的工作才能驗證。例如對於任何給定的

，一個定義在實數軸X上的函數f在無窮遠處消失，可以粗略通過選取一個緊子集 C來描述： ^[1] 

其中

表示 C的指示函數。

注意，任何定義在緊空間上的函數都是緊支撐的。

當然也可以更一般地，將支撐集的概念推廣到分佈，比如狄拉克函數：定義在直線上的

。此時，我們考慮一個測試函數F，並且 F是光滑的，其支撐集不包括 0。由於

（即

作用於F）為 0，所以我們説

的支撐集為

。注意實數軸上的測度（包括概率測度）都是分佈的特殊情況，所以我們也可以定義一個測度支撐集。

在傅立葉分析的研究中，一個分佈的奇支集或奇異支集有非常重要的意義。 直觀地説，這個集合的元素都是所謂的奇異點，即使得這個分佈不能局部地看作一個函數的點。

例如，單位階躍函數的傅立葉變換，在忽略常數因子的情況下，可以被認為是1/x，但這在x=0時是不成立的。所以很明顯地，x=0是一個特殊的點，更準確地説，這個分佈的傅立葉變換的奇支集是

，即對於一個支撐集包括0的測試函數而言，這個分佈的作用效果不能表示為某個函數的作用。當然這個分佈可以表示為一個柯西主值意義下的瑕積分。

對於多變量的分佈，奇支集也可以更精確地被描述為波前集，從而可以利用數學分析來理解惠更斯原理。奇支集也可以用來研究分佈理論中的特殊現象，如在試圖將分佈'相乘'時候導致的問題（狄拉克函數的平方是不存在的，因為兩個相乘的分佈的奇支集必須不相交）。

支撐族是一個抽象的拓撲概念，昂利·嘉當在一個層中定義了這個概念。在將龐加萊對偶推廣到非緊的流形上的時候，在對偶的一個方面上引入緊支撐的概念是自然的。 ^[2] 

Bredon的書《Sheaf Theory》(第二版 1997)中給出了這些定義。X的一組閉子集

是一個支撐族，如果它是下閉的並且它的有限並也是閉的。它的擴張是

的並。一個仿緊化(paracompactifying)的支撐族對於任何

，在子空間拓撲意義下是一個仿緊空間，並且存在一些

是一個鄰域。如果X是一個局部緊空間，並且是豪斯多夫空間，所有的緊子集組成的族滿足上的條件，那麼就是仿緊化的。