龐加萊對偶

設M為光滑定向閉流形或n維R定向緊流形，對所有i與R模π，均有自然龐加萊同構

D:H^p(M;π)→H_n-p(M;π)

特別地龐加萊對偶定理藴含着一個非退化雙線性映射

H_i(M)×H_n-i(M)→ℤ

稱為龐加萊對偶。 ^[2] 

同構可定義為D(α)=α⋂z，其中z為R基本同調類。

若π=R，<α⋃β,z>=<β,α⋂z>=<β,D(α)>，即D與⋂對偶。

設T_p⊂H^p(M)為其撓子羣，若α∈H^p(M)投射到自由阿貝爾羣H^p(M)/T_p，則存在a∈H_p(M)，滿足<α,a>=1。由龐加萊對偶，存在β∈H^n-p(M)滿足β⋂z=a，則<β⋃α,z>=<α,β⋂z>=1 ^[3] 

設M為n維ℤ定向緊連通流形，D:H^p(M)→H_n-p(M)。當p=0，有H_n(M)≅ℤ，其生成元為基本同調類z，當p=n，Hⁿ(M)≅ℤ，其生成元ξ與z對偶，即<ξ,z>=1。 ^[3] 

1993年，經全國科學技術名詞審定委員會審定發佈。

《數學名詞》第一版。 ^[1]