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波前集

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波前集(wavefront sets)是微局部分析中最基本的概念。在數學分析中，特別是微局部分析中，一個分佈 f 的波前集WF(f) 在奇異支集singsupp(f) 的基礎上進一步刻畫了f的奇異性。作為底空間餘切叢的一個錐子集，一個分佈的波前集不僅描述了這個分佈的奇異點，並且同時描述了在每一點這個分佈奇異的方向。“波前集”這個術語是由 拉爾斯·霍爾曼德爾在1970年左右引入的。實解析版本的波前集，定義在超函數上，稱為“奇異支集”或“奇異譜”，稍早由佐藤幹夫引入。 [1] 
中文名
波前集
外文名
wavefront sets
應用學科
數學分析
創始人
拉爾斯·霍爾曼德爾
創建時間
1970年左右
應    用
分佈的運算等

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 等價定義
  3. 3 性質
  4. 4 應用及推廣

波前集定義

在歐式空間的一個區域
中，一個分佈
在一個點
處的奇異纖維
，作為
的一個子集， 是在這一點所有奇異方向的餘集。嚴格的定義用到傅里葉變換，
不屬於
當且僅當存在緊支集光滑函數
以及
的一個錐鄰域（在正實數乘法下不變）
使得
，並且在
中有如下估計：對於任意正整數N ，存在正常數
使得： [2] 
（我們經常將這個估計寫為
。）
f的波前集
定義為：
由下面波前集在座標變化下的性質，可以定義光滑流形X 上的分佈 f的波前集
為餘切叢去掉零截面
的一個錐子集。
如果
有Schwarz核
，定義為：
對於擬微分算子
， 可以驗證
包含於
的對角線
中。並且如果我們定義
如下：
當且僅當在
的一個錐鄰域中，A的象徵滿足估計
。
那麼我們有
當且僅當
。

波前集等價定義

Hormander最早的定義用到了擬微分算子在分佈上的作用：
是所有滿足如下性質的點
在
中的補集： 存在
的錐鄰域
使得對於任意的滿足
的擬微分算子
， 有
。
另一個有用的等價定義用到FBI變換。

波前集性質

（1） 如果記
為餘切叢上自然投影，則
。 [3] 
（2） 對於擬微分算子
，
。特別的，我們有對於任意的光滑係數微分算子
，
。
（3） 如果
是一個光滑映射，記
為f 的法叢。如果
滿足
，那麼我們可以“唯一的”定義u在f 下的拉回
。並且我們有
。 特別的，如果f是一個微分同胚，
。所以波前集定義在餘切叢上是不取決於座標的。
（4）令
如果將
視作從
到
的一個關係，並且記
。這裏
和
分別是X和Y上餘切叢的零截面。則如果
滿足
，那麼我們可以“唯一的”定義
。並且我們有
。
（5）如果
和
滿足
，那麼我們可以“唯一的”定義複合算子
。並且我們有：
。
這裏最後一項是將波前集視為關係下的複合。

波前集應用及推廣

波前集可用於
函數、振盪積分、餘法分佈、拉格朗日分佈、分佈的運算、擬微分算子與微局部化以及奇異性的傳播。 [1] 
以上所定義的波前集描述的是分佈的關於
正則性的奇異性，類似的可以定義關於實解析性的波前集
，關於Gevery類
的波前集，關於Sobolev空間
的波前集等等。在使用FBI變換的定義中，這些波前集有一個很好的統一的描述。
參考資料
  • 1.    Oberguggenberger M. Hyperbolic Systems with Discontinuous Coefficients: Generalized Wavefront Sets[M]// New Developments in Pseudo-Differential Operators. Birkhäuser Basel, 2008:117-136.
  • 2.    Hörmander, Lars, The Analysis of Linear Partial Differential Equations I: Distribution Theory and Fourier Analysis, Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256 2nd, Springer: 251–279, 1990.
  • 3.    Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.