微局部分析

微局部分析是現代偏微分方程理論研究中的一種有效的方法，依據“傅里葉變換中把關於x的微分運算

變換微用對偶變量ξ替換，就有可能將微分方程的研究放到以x變化區域X為底流形的餘切從上進行。變量ξ實際上代表着對偶空間中的方向，微局部分析就是精確到局部化的空間位置與局部化的方向上研究分佈的方法。惠更斯關於波前集的構造法是微局部分析的物理原型。在擬微分算子及傅里葉積分算子理論中，常將所討論的問題轉化到餘切從

上。

微局部分析是偏微分方程算子理論中的一個重要的研究領域。在擬微分算子及傅里葉積分算子理論中，常將所論問題化為對相應的象徵(及位相)的處理。實際上，現代微分算子理論是傅里葉分析的發展，而傅里葉分析就是一種譜分析(頻譜分析)，這種頻譜所在區域就是餘切叢。還有許多問題必須放到餘切叢上分析。

例如，按維納-佩利-施瓦茲定理，一個函數或分佈的正則性可用它的傅里葉變換在無窮遠處的增長性來確定；而一個多元函數（分佈）在各個方向的光滑性又對應着餘切叢上纖維的各個錐向的增長情況。

與偏微分方程理論研究彙總常用的局部化技術相仿，微局部分析的方法往往是先在餘切叢上每一點的錐鄰域中作分析，再進行整體綜合討論。這種方法比單純關於自變量進行局部化的方法更為靈活與有力。

例如，在研究微分方程解的奇性傳播與偏微分方程的局部可解性時，只有用微局部分析的方法才能揭示問題的本質。此外，在研究微分算子的有界性時，傅里葉譜分析方法有時並不有效，此時人們常常用到李特爾伍德-佩利分解，而這種分解在餘切從上有十分好的幾何特徵。

近年來，微局部分析方法還被進一步發展而用於處理各類非線性問題。 ^[1]