複製鏈接
請複製以下鏈接發送給好友
https://baike.baidu.hk/item/瑕積分/7667264
複製
複製成功

瑕積分

鎖定
瑕積分，英文名稱improper integral，是高等數學中微積分的一種，是被積函數帶有瑕點的廣義積分。
中文名
瑕積分
外文名
improper integral
領    域
數學
相    關
反常積分；廣義積分

目錄

  1. 1 定義
  2. ▪ 瑕點
  3. ▪ 定義1
  4. ▪ 定義2
  1. ▪ 定義3
  2. 2 定理和性質
  3. ▪ 定理
  4. ▪ 性質1
  1. ▪ 性質2
  2. ▪ 性質3
  3. 3 收斂判別法

瑕積分定義

瑕積分瑕點

如果存在正數
，使得任意
，都有函數
在
的左鄰域
內無界或函數
在
的右鄰域
內無界，則稱點
為
的一個瑕點。例如，
是
的瑕點；
是
的瑕點。

瑕積分定義1

設函數f(x)在(a,b]上連續，點a為f(x)的瑕點.取t>a，如果極限
存在，則稱此極限為函數f(x)在(a,b]上的反常積分。瑕積分仍然記作
。

瑕積分定義2

設函數f(x)在[a,b)上連續，點b為f(x)的瑕點。取t<b，如果極限
存在，則稱此極限為函數f(x)在[a,b)上的反常積分 [1]  。

瑕積分定義3

設函數f(x)在[a,b]上除點c(a<c<b)外上連續，點c為f(x)的瑕點。如果兩個瑕積分
與
都收斂，則定義
。

瑕積分定理和性質

瑕積分定理

瑕積分
(瑕點為
)收斂的充要條件是：任給
存在
，只要
，總有

瑕積分性質1

設函數
與
的瑕點同為
，
、
為常數,則當瑕積分
與
都收斂時，瑕積分
必定收斂，並有

瑕積分性質2

設函數
的瑕點為
，
在的任一內閉區間(a,b]上可積。則當
收斂時
也必定收斂，並有

瑕積分性質3

設函數
的瑕點為
為任一常數.則瑕積分
與
同斂態，並有

瑕積分收斂判別法

當
收斂時，稱
為絕對收斂。稱收斂而不絕對收斂的瑕積分是條件收斂，判別瑕積分絕對收斂的比較法則如下 [2]  ：
(比較法則) 設定義在(a,b]上的兩個函數
與
，瑕點同為
，在任何[u,b]上都可積，且滿足
，則當
收斂時，
必定收斂(或當
發散時，
亦必發散)。
參考資料
  • 1.    [1]李鳳彥,戚曉秋. 一個瑕積分的三種解法及推廣[J]. 大學數學,2015,06:104-107.
  • 2.    [2]李曉龍,陳京亞,孫欽福. 瑕積分斂散性的判別方法[J]. 科技信息,2014,03:73+93.