投射對象

在同調代數中，內射對象與投射對象是內射模與投射模在阿貝爾範疇中的推廣，二者的定義相對偶。以下固定一個阿貝爾範疇。

若對象

使得函子

為正合函子，則稱

為投射對象。

若對象

使得函子

為正合函子，則稱

為內射對象。

若對每個對象

都存在投射對象

及滿射，則稱

有充足投射元。若對每個對象

都存在內射對象

及單射

，則稱

有充足內射元。對於有充足投射元（或內射元）的阿貝爾範疇，可以考慮對象的投射分解（或內射分解）。 ^[1] 

同調代數是數學的一個分支，它研究同調與上同調技術的一般框架。同調代數是一門相對年輕的學科，其源頭可追溯到代數拓撲（單純形同調）與抽象代數（合沖模）在十九世紀末的發展，這兩門理論各自由龐加萊與希爾伯特開創。

同調代數的發展與範疇論的出現密不可分。大致説來，同調代數是（上）同調函子及其代數結構的研究。“同調”與“上同調”是一對對偶的概念，它們滿足的範疇論性質相反（即：箭頭反向）。數學很大一部分的內在構造可藉鏈復形理解，其性質則以同調與上同調的面貌展現，同調代數能萃取這些鏈復形藴含的資訊，並表之為拓撲空間、層、羣、環、李代數與C*-代數等等“具體”對象的（上）同調不變量。譜序列是計算這些量的有力工具。

同調代數肇始即在代數拓撲中扮演要角。其影響日漸擴大，目前已遍及交換代數、代數幾何、代數數論、表示理論、算子代數、偏微分方程與非交換幾何。K-理論是一門獨立的學科，它也採用同調代數的辦法。 ^[2] 

在數學中，阿貝爾範疇（或稱交換範疇）是一個能對態射與對象取和，而且核與上核存在且滿足一定性質的範疇；最基本的例子是阿貝爾羣構成的範疇Ab。阿貝爾範疇是同調代數的基本框架。

一個範疇

若滿足下述條件，則稱阿貝爾範疇：

是加法範疇，所有態射皆有核與上核，所有態射皆為嚴格態射。只滿足前兩個條件者稱作預阿貝爾範疇。

若取

為一交換環，則在上述定義中以k-加法範疇代換加法範疇，便得到k-阿貝爾範疇之定義。 ^[3] 

在範疇論中，正合函子（或譯作恰當函子）是保存有限極限的函子。在阿貝爾範疇中，這就相當於保存正合序列的函子。

設

為阿貝爾範疇，

為加法函子。若對每個正合序列

取

後得到的序列

仍為正合序列，則稱

為正合函子

。

由於正合序列總能拆解為短正合序列，在定義中僅須考慮短正合序列即可。

此外，若對每個短正合序列

，其像截去尾端零對象後

為正合序列，則稱

是左正合函子；類似地，若

為正合序列，則稱

是右正合函子。正合性等價於左正合性+右正合性。 ^[3]