內射模

定義一：一個環

上的左模

若滿足以下等價條件，則稱之為內射模：

(1) 若

是左

-模

的子模，則

存在另一個子模

使得

。

(2) 若

是單的左

-模映射，

是左

-模映射，則存在

-模映射

使得

。

(3) 任何短正合序列

都分裂。

(4) 函子

為正合函子。

定義二：設R是一個環，E是一個R模。如果對於R模的任意單同態g：

，以及同態

，f可以擴充為同態

，使得

，那麼稱E為內射模。 ^[1] 

抽象地説，內射模乃是模範疇中的內射對象。

等價定義：E是內射模當且僅當以E開頭的短正合列

是可裂的。

任意一個R模M都同構於內射模的子模，即有內射模E和單同態：

。

特別地，若

是一個內射模，則單同態

使得

是

的直和項。

一個阿貝爾羣Q稱為可除的，如果

，方程

在Q中有解。設R是一個環，Q是一個可除的阿貝爾羣，那麼

是一個內射R模。 ^[1] 

內射模的直積（包括無窮直積）仍是內射模，內射模的有限直和仍為內射模。一般而言，內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。

Baer 在其論文中證明了一個有用的結果，通常稱作 Baer 判準：一個左 R-模 Q 是內射模當且僅當定義在任一理想 I 上的態射 I→Q 都能延拓到整個 R 上。

最重要的內射模當屬 Q/Z：它是 Z-模範疇中的內射上生成元，換言之，這是內射模，而且任何 Z-模皆可嵌入某個 (Q/Z)a次方 中，其中 a 是夠大的基數。由此可知任何 Z-模皆可嵌入某個內射 Z-模。此性質對任意環 R 上的左模都成立，要點在於利用 Q/Z 的特性構造左 R-模範疇中的內射上生成元。 ^[2]