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內射模
鎖定
內射模(injective module),在模論中,是具有與有理數Q(視為Z-模)相似性質的模。內射模是投射模的對偶概念,由Reinhold Baer於1940年引進。
- 中文名
- 內射模
- 外文名
- injective module
- 引進時間
- 1940年
- 含 義
- 投射模的對偶概念
內射模定義
定義一:一個環
上的左模
若滿足以下等價條件,則稱之為內射模:
(1) 若
是左
-模
的子模,則
存在另一個子模
使得
。
(2) 若
是單的左
-模映射,
是左
-模映射,則存在
-模映射
使得
。
(3) 任何短正合序列
都分裂。
(4) 函子
為正合函子。
抽象地説,內射模乃是模範疇中的內射對象。
等價定義:E是內射模當且僅當以E開頭的短正合列
是可裂的。
內射模性質
任意一個R模M都同構於內射模的子模,即有內射模E和單同態:
。
特別地,若
是一個內射模,則單同態
使得
是
的直和項。
內射模的直積(包括無窮直積)仍是內射模,內射模的有限直和仍為內射模。一般而言,內射模的子模、商模或無窮直和並不一定是內射模。
Baer 在其論文中證明了一個有用的結果,通常稱作 Baer 判準:一個左 R-模 Q 是內射模當且僅當定義在任一理想 I 上的態射 I→Q 都能延拓到整個 R 上。