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投射模
鎖定
投射模是比自由模更一般的模,它是內射模的對偶概念,設P是左A模,若有左A模Q使P⊕Q同構於自由A模,則P稱為投射A模。這等價於:函子HomA(P,-)是正合的;也等價於:對每個滿同態f:M→N,及每個同態γ:P→N,一定有同態r:P→M,使得f°r=γ成立。對右A模有類似的定義與性質,任意左A模M必是某一左A投射模的商模;環A作為A模當然是投射模,自由模一定是投射模,投射模一定是平坦模,反之都不一定成立,當環A是主理想整環時,每個投射模都是自由模。塞爾(Serre,J.P.)於1955年曾提出一個著名的猜測(塞爾猜測):域F上的多項式環F[x₁,x₂,…,xₑ]上的每個有限生成的投射模是否是自由模?奎倫(Quillen,D.G.)和蘇斯林(Суслин,М.Я.)幾乎同時於1976年用不同方法給以解決(他們得出更強的結果,即只要限制F為主理想整環即可),另外,交換諾特局部環上每個有限生成的投射模也是自由的,這個結果首先由卡普蘭斯基(Kaplansky,I.)於1958年得到,投射模在模論、同調代數、代數K理論中有重要應用
[1]
。
- 中文名
- 投射模
- 外文名
- projective module
- 所屬學科
- 數學
- 相關概念
- 內射模、滿同態、同態等
- 應用領域
- 模論、同調代數、代數K理論等
投射模概念
投射模定理1
①每個單同態
分裂(i.e. Im(
)是B的直和項)。
③對每個單同態
:
,
是滿同態。
① 每個滿同態
分裂(i.e. Ker(
)是B的直和項)。
② 對每個滿同態
,和每個同態
,
一個同態
,使得
.
③ 對每個滿同態
,
是一個滿同態。
投射模定義
(1)滿足定理1中(1)的條件的模
叫作內射R-模。
投射模相關定理與推論
投射模推論1
(2)P是投射模,並且
也是投射模。
投射模定理2
(1)令
,則有:Q是內射模
(
是內射的)
f∈,
投射模定理3
對於這個定理。沒有關於內射模的對偶定理。由這個定理,投射模的理論就簡化為自由模及它的直和項的性質問題,眾所周知,由於每個自由
-模的子模仍是自由的,於是得到以下推論。
投射模推論2
每個投射
-模是自由的。
投射模定理4
對於投射模的研究,一個重要的引理就是對偶基原理,它在投射模理論中的地位類似於基在自由模理論中所處的地位。
(1)
是投射的;
(2)對於P在R上的每個生成元集
,則
的子集
滿足:
①
,僅對有限多個
成立
。
②
,
。