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平坦模
鎖定
- 中文名
- 平坦模
- 外文名
- flat module
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 模論
平坦模定義
定義1 平坦模是一類重要的模。右A模M,若函子
-是正合的,則稱
是平坦模。類似地,對左A模M,若函子-
正合,則稱
是平坦模。投射模一定是平坦模,反之不一定成立。環A上每個左A平坦模是投射模的充分必要條件是,環A是左完全環
[1]
。
定義2
-模
叫作平坦的,若對每個單同態
平坦模相關性質定理
推論1平坦模的同構像也是平坦的。
定理2令
(或
),則有:
是平坦的
是平坦的。
定理3每個投射模都是平坦的。
引理4設有
-模
和
,
(1) 若
,則存在有限生成子模
與
(
)使得
。
(2)設
,則
。
推論5 設
是一個模且使它的每個有限生成子模包含在一個平坦子模內,則M是平坦的。
推論6若對一個同態
和一個模
,
定理7對模
,下列敍述是等價的:
(1)
是平坦的;
(2) 對每個有限生成右理想
,及包含映射
,則
是單同態;
(3)
是內射的。
定理8對於環
,下列條件是等價的:
(1) 每個模
是平坦的;
(2) 對每個元素
,存在一個元素
使得
;
(3)
的每個循環右理想是
的直和項;
(4)
的每個有限生成有理想是
的直和項。
引理9 令
是平坦的,
表示包含映射,則下列是等價的:
(1)
是單同態;
(2)
。
定理10令
是平坦的,
,則下列是等價的:
(1)
是平坦的;
(2)
對每個有限生成理想
成立。
定理11令
是投射的,
,如果
是平坦的,則
。
推論12令
是投射模,且
,則
。