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商模
鎖定
- 中文名
- 商模
- 外文名
- quotient module
- 所屬領域
- 模論的重要概念之一
- 別 名
- 差模
商模定義
設M是一個R-模,N是M的一個R-子模,則N是加法羣M的子羣,於是有商羣M/N,它的元素是N在M內的陪集
,因為N為R-子模,我們可以把M/N作成R-模,在商羣內有加法:
商模相關性質
定理1 設B是R-模,D是B的子模,另有
也是B的子模,且滿足
,則商模B/D與
之間滿足
。反之,若已知M是B/D的子模,則一定存在B的子模
,滿足
且有
。
商模相關概念
商模定義1
令A,B是R的兩邊理想,置
注:
商模定義2
令C是R的兩邊理想,則:
(1)説C是R的強素理想:
。
(2)説C是R的素理想:
。
(3)r稱為左零因子:
。
類似地,可定義右零因子。
(4)説R中沒有零因子:
中不存在左右零因子。
注:
(1)如果存在右零因子,則一定存在左零因子,反之亦然。
(2)如果
分別是r的左、右逆元:則
。
由定義1易知:
商模引理1
(1)C是強素理想
C是R的素理想。
(2)如果R是交換的,則(1)之逆也成立。
商模定理2
令C是R的兩邊理想,則下述命題成立:
(1)C是R的強素理想
R/C沒有零因子。
(2)C是R的素理想
零理想是R/C的素理想。
(3)C是R的兩邊理想
R/C是單的。